北师大版高中数学必修二第二章《空间直角坐标系》单元测试题

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北师大版必修2第二章《空间直角坐标系》单元测试题

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一、选择题：（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),关于下列叙述： ①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,?y,z)②点P关于yoz平面对称点的坐标是P2(x,?y,?z)③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,－y,z)④点P

关于原点对称点的坐标是P4(?x,?y,?z)其中正确的叙述的个数是

( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ） A．62 B．3 C．362 D．3 3.已知空间两点A(－3,－1,1)、B(－2,2,3)，C在oz轴上，且与A、B两点的距离相等，则点C的坐标是（ ）

A.(0,0,1) B.(0,3,0) C.(0,0,32) D.(2,1,0)

4. 在直角坐标系中，已知两点M(4,2),N(1,?3)，沿x轴把直角坐标平面

折成直二面角后，M,N两点间的距离为( ) A．38 B．34 C．22 D．10 z [答案] B 解析：翻折后，建立如图所示的空间 N 直角坐标系，M,N两点的坐标分别为M(4,2,0)， N(1,0,3)，利用空间直角坐标系中两点间距离公 O y 式得，M,N两点间的距离为

(4?1)2?(2?0)2?(0?3)2?22．

x M 5. 已知点A(1,?2,11),B(4,2,3),C(6,?1,4)，则?ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

6．已知点A(1,?2,11)，B(4,2,3)， C(x,y,15)三点共线，那么x,y的值分别是（ ）

A．12，4 B．1，8 C．?12，－4 D．－1，－8

7．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D的坐标为（ ） A．（72，4，－1）B．（2，3，1）C．（－3，1，5） D．（5，13，－3）

8．已知A(x,5?x,2x?1),B(1,x?2,2?x)，当A,B两点间距离取得最小值时，

x的值为（ ）

A．19 B．?887 C．7 D．1914 9．给定空间直角坐标系中，

x轴上到点P(4,1,2)Z 的距离为30的点有（）

D1A．2个 B．1个 C．0个 D．无数个 C110． 如图，在空间直角坐标系中有一棱长为aA 1B1 的正方体ABCD?A1B1C1D1，A1C的中点E与E AB的中点F的距离为（）

O(DA．2a B．2Y 2a C．a D．a2

A ) C F B X 信达

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[答案]B 解析：点E的坐标为(a,a,a)，点F的坐标为(a,a2222,0)，所以EF?(a)2a2，故选B．

2?(2)2?2a二、填空题:（本题共5小题，每小题5分，共25分.请将正确的答案填

到横线上）

11．已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点 B的坐标为 ；AB的长为 ． 12．如右图，为一个正方体截下的一角P－ABC， |PA|?a，|PB|?b，|PC|?c，建立如图坐标

系，求△ABC的重心G的坐标 _ _．

13．在空间直角坐标系中，自点P(?4,?2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标

为 .

14．已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2,?3,?5)和

B(?1,3,2)，对角线的交点是E(4,?1,7)，则C,D的坐标分别为 .

15. 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若D(0,0,0),A(5,0,0),B(5,4,0),A1(5,0,3)，

则对角线AC1的长为______________.

三、解答题:（本题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、

方程式和演算步骤） 16．（12分）在平面内的直线x?y?1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小. 17．（12分）如图，已知矩形ABCD中，|AD|?3，|AB|?4．将矩形ABCD

沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD．现以D为原点，DB作为y轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内．试求A，C两点的坐标．

信达 18．（12分）已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴

上是否存在一点B，使得PA?AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由. Z Z P P

O O B Y B Y A A X

X 19.（12分）已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x轴上求一点P，使

|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹． 20．（13分）如图，已知正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为a，M为BD'的

中点，点N在AC'上，且|A'N|?3|NC'|，试求MN的长．

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21．（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－

3），试问：

（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|?|MB|？

（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试

求出点M坐标．

信达

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北师大版必修2第一章《空间直角坐标系》单元测试题答案

一、选择题： 1. [答案] A 2．[答案] C z 3. [答案] C

4. 解析：翻折后，建立如图所示的空间

N 直角坐标系，M,N两点的坐标分别为M(4,2,0)， N(1,0,3)，利用空间直角坐标系中两点间距离公 O y 式得，M,N两点间的距离为

(4?1)2?(2?0)2?(0?3)2?22．

x M 5. [答案] C 解析：根据两点间距离公式AB?89,AC?75,BC?14，则有AC2?BC2?AB2． 6．[答案] C 7．[答案] D

8．[答案] C 解析：AB?14x2?32x?19，所以当x?8

7

时，A,B两点间距离取得最小值． 9．[答案] A 解析：设满足条件的点为(x,0,0)，代入两点间距离公式：

(x?4)2?(0?1)2?(0?2)2?30，解得x?9或x??1，所以满足条件的点为(9,0,0)或(?1,0,0)．

10．[答案]B 解析：点E的坐标为(a,a,a)，点F的坐标为(a,a2222,0)，所

以EF?(a)2?(a)2222?2a，故选B．

二、填空题:

11．[答案] （3，－1，－4）； 226；

12．[答案] （acb3,3,3）

13．[答案] (?4,0,0)解析：过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足均为

(a,0,0)的形式，其中a为点P在x轴上的坐标． 14．[答案] (6,1,19)与(9,?5,12)解析：点E分别是点A与点C、点B点D的

中点，所以C,D的坐标分别为(6,1,19)与(9,?5,12)．

15. [答案]：52 解析：C1的坐标为（0，4，3），AC1?52?42?32?52或由已知可得该长方体从同一顶点出发的棱长分别为3，4，5. 三、解答题: 16．解：因为点M在平面内的直线x?y?1上，故可设点M为(x,?x?1,0)，

所以MN?(6?x)2?(4?x)2?1?2x2?4x?53，所以当x?1时MN取得最小值.

此时点M坐标为(1,0,0). 17． 解： 由于面BCD⊥面ABD，从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD

的垂线，同理可得AE即为面BCD的垂线，故只需求得AE,CF,DE,DF的长度即可。 最后得A（12,9,0），C（0,16555,125）

18．解：若PA?AB恒成立，则AB?平面POA，所以AB?OA.

设B(0,x,0)，则有OA?2,OB?x,AB?1?(x?1)2， 由OB2?OA2?AB2，得x2?2?1?(x?1)2，解得x?2. 所以存在点B，当点B为(0,2,0)时，PA?AB恒成立.

19.解：(1)设，则由已知，得(a－1)2＋(－2)2＋12＝(a－2)2＋22，

即a2－2a＋6＝a2－4a＋8.解得a＝1.所以P点的坐标为(1,0,0)． (2)设M(x,0，z)，则有(x－1)2＋(－2)2＋(z＋1)2＝(x－2)2＋(z－2)2.整理得，即：x+3z-1=0. 故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线． 20．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a， 所以B（a，a，0），A'（a，0，a），C'（0，a，a），D'（0，0，a）． 由于M为BD'的中点，取A'C'中点O'，所以M（a，a，a），O'（a2222，

a2，a）．

因为|A'N|?3|NC'|，所以N为A'C'的四等分，从而N为O'C'的中点，

故N（a4，34a，a）．

根据空间两点距离公式，可得：

信达

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|MN|?(a2?a4)2?(a2?3a4)2?(a2?a)2?64a

21．解：（1）假设在在y轴上存在点M，满足|MA|?|MB|．

因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|?|MB|，可得 32?y2?12?12?y2?32，

显然，此式对任意y?R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系

|MA|?|MB|．

（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．

由（1）可知，y轴上任一点都有|MA|?|MB|，所以只要|MA|?|AB|就可以使得△MAB是等边三角形． 因为|MA|?(3?0)2?(0?y)2?(1?0)2?10?y2 |AB|?(1?3)2?(0?0)2?(?3?1)2?20

于是10?y2?20，解得y??10

故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，10，0），或（0，?10，0）．

信达