2.3相反数与绝对值

初中数学●东北育才（七年级上） 主讲：宋瑞 4、有理数a.b.c均不为0,且a+b+c=0。设x=2|a||b||c| + + ,的最大值为x，最小值b+ca+ca+b为y，试求x+99x+2012的值。

绝对值的拓展应用（非常重要）

1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。

脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则：

?a?a??0??a??a?0??a?0? ?a?0?2、恰当地运用绝对值的几何意义

从数轴上看a表示数a的点到原点的距离；a?b表示数a、数b的两点间的距离。 3、灵活运用绝对值的基本性质

aa①a?0 ②a?a?a ③ab?a?b ④??b?0? ⑤

bb222a?b?a?b ⑥a?b?a?b

去绝对值符号法则

例1：已知a?5,b?3且a?b?b?a那么a?b? 。

推广：已知a?1,b?2,c?3,且a?b?c，那么?a?b?c?? 。（北京市“迎

2春杯”竞赛题）

2、恰当地运用绝对值的几何意义

例2： x?1?x?1的最小值是（ ） A．2 B．0 C．1 D．-1

解法1、分类讨论（零点分段法）后面会讲

解法2、由绝对值的几何意义知x?1表示数x所对应的点与数1所对应的点之间的距离；

x?1表示数x所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；x?1?x?1的最小值是指x点

到1与-1两点距离和的最小值。如图易知

当?1?x?1时，x?1?x?1的值最小，最小值是2故选A。

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2、零点分段法及其应用

13、阅读下列材料并解决有关问题：

?x?我们知道x??0??x??x?0??x?0?，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如?x?0?化简代数式x?1?x?2时，可令x?1?0和x?2?0，分别求得x??1,x?2（称?1,2分别为x?1与x?2的零点值）。在有理数范围内，零点值x??1和x?2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）当x??1时，原式=??x?1???x?2???2x?1; （2）当?1?x?2时，原式=x?1??x?2??3； （3）当x?2时，原式=x?1?x?2?2x?1。

??2x?1?综上讨论，原式=?3?2x?1??x??1???1?x?2? ?x?2?通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1） 分别求出x?2和x?4的零点值；（2）化简代数式x?2?x?4

14、（1）当x取何值时，x?3有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，5?x?2有最大值？这个最大值是多少？（3）求x?4?x?5的最小值。（4）求

x?7?x?8?x?9的最小值。

【解题步骤：求零点，分区间，定性质，去符号

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初中数学●东北育才（七年级上） 主讲：宋瑞

1. 若a，b，c为整数，且｜a-b｜+｜c-a｜=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值． 2. 设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．

3. 若2+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值． 6. 已知a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c=0，求

7、已知a,b为非负整数，且满足|a?b|?ab?1，求a,b的所有可能值。5、若三个有理数a,b,c满足

|abc||a||b||c|???1，求的值。

abcabc15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建

一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？

ADCB

如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在A1和A2之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于A1到A2的距离.

如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为A1到A3的距离；而如果P放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D近段距离，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。

问题（1）：有n机床时，P应设在何处？ 问题（2）根据问题（1）的结论，求x?1?x?2?x?3?????x?617的最小值。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与?2，3与5，?2与?6，

?4与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 .

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为 x ? ( ? 1 ) ? x ? 1 ．

分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因

为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？

结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。

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初中数学●东北育才（七年级上） 主讲：宋瑞 当x<-1时，距离为-x-1, 当-10，距离为x+1 综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为x?1

（3）结合数轴求得x?2?x?3的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3≤x_≤2______.

分析：x?2即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。

它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。 x?3?x?(?3)即x与-3的差的绝对值，

如图，x在数轴上的位置有三种可能：

图1 图2 图3

图2符合题意

（4） 满足x?1?x?4?3的x的取值范围为 x<-4或x>-1

分析： 同理x?1表示数轴上x与-1之间的距离，x?4表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助

数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。

说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，A?B 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。

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