高中数学人教A版选修1-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1含解析

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1有下列四个命题:

第三章

数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念

课时过关·能力提升

基础巩固

①方程2x-5=0在自然数集N中无解;

②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解; ③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解; ④x4=1在R中有两解,在复数集C中也有两解. 其中正确命题的个数是( ) A.1

B.2

C.3 D.4

解析①方程的解为x ?N,故①正确;

②方程的解为x1 ∈Q,x2=-5∈Z?Q,故②正确;

③由i2=-1,知x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解,故③正确; ④x4=1在复数集C中的解的个数为4,故④不正确. 答案C 2在2 这几个数中 纯虚数的个数为 A.0

B.1

C.2 D.3

解析因为2 为实数 为纯虚数,8+5i为虚数,(1 为纯虚数,0.618为实数,所以纯虚数只有2个. 答案C 3若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为( )

1

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A

解得 则x+y=0. 解析由复数相等的充要条件知

- -

故2x+y=20=1. 答案D 4若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有( ) A.m=±1 C.m=1

解析∵z是纯虚数,

解得

∴m=-1.故选B. 答案B 5已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,其中x,y∈R,则x= ,y= . 解析∵x,y∈R,∴根据两个复数相等的充要条件,

- 可得 解得 - 答案

B.m=-1 D.m≠1

6若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a= . - 解析由题意,得 解得a=-4.

- 答案-4

7设z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i(m∈R),当m= 时,z为实数;当m= 时,z为纯虚数.

解析当z为实数时,

由m2-2m-3=0,得m=3或m=-1.

- - 当z为纯虚数时,由 得m=6.

- - 答案3或-1 6

8已知x2-y2+2xyi=2i,则有序实数对(x,y)= .

2

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- - 解析由复数相等,得 解得 或

- 答案(1,1)或(-1,-1)

9若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.

分析由于题目中的两个复数能比较大小,故它们都是实数,由此可列出关于m的式子,求出m的值. 或 -

解由题意,得 - 即 或

故m=3,即实数m的值为3. 10是否存在实数m使复数z=(m2-m-6)

- -

为纯虚数 若存在 求出 的值 否则 请说明理由

分析假设存在实数m使复数z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.

解假设存在实数m使z为纯虚数,则

① ②

由①,得m=-2或m=3. 当m=-2时,②式左端无意义; 当m=3时,②式不成立. 故不存在实数m使z为纯虚数.

能力提升

1设C={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C,则下列结论正确的是( ) A.A∪B=C C.A∩(?UB)=? 答案D 2若复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ 则 等于 A.kπ(k∈Z) C.2kπ ∈Z)

B.?UA=B D.B∪(?UB)=C

解析由复数的分类可知选项D正确.

B.2kπ ∈Z) D.2kπ ∈Z)

解析由复数相等的定义,可知

3

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∴cos θ ∈Z,故选D. 答案D 3若复数z - - ∈R)是纯虚数,则ta - 的值为

A.-7

B. 或

解析因为复数z是纯虚数,所以满足实部为零,且虚部不为零,即 因为sin θ 且cos θ≠

所以cos θ= 所以tan θ= 所以答案A 4已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(a∈R),则“a=1”是“z为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 答案A 5设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),若z是纯虚数,则m= . - -

解析∵z为纯虚数, -

-

答案-1

6已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是 .

θ. 解析∵z1=z2,

又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5]. 答案[3,5] 7已知实数a,x,y满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点(x,y)的轨迹方程是 .

或 且

D.既不充分也不必要条件

解析若a=1,则z=-i为纯虚数;若z为纯虚数,则a=±1.所以“a=1”是“z为纯虚数”的充分不必要条件.

ta -

-

- - -

4