(完整版)1.2矩形的性质及判定

矩形的性质 及判定

中考要求

知识点 矩形 A要求 会识别矩形 B要求 Ｃ要求 掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判会运用矩形的知识解决有关定解决简单问题 问题

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．

④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30?角所对的边等于斜边的一半．

点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定

判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．

中考要求

重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．

关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．

重、难点

例题精讲

一、矩形的判定

【例1】 ☆ 在矩形ABCD中，点H为AD的中点，P为BC上任意一点，PE?HC交HC于点E，

BC满足条件 时，四边形PEHF是矩形 PF?BH交BH于点F，当AB，【例2】 如图，在四边形ABCD中，?ABC??BCD?90?，AC?BD，求证：四边形ABCD是矩形．

13.1.2矩形的性质和判定 讲义·学生版 page 1 of 8 ADBC【巩固】 ☆矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）

A．对角线相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对边相等

【例3】 如图，已知在四边形ABCD中，AC?DB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证四

边形EFGH是矩形．

DEAFBOGHC

【巩固】 如图，在平行四边形ABCD中，M是AD的中点，且MB?MC，

求证：四边形ABCD是矩形．

AMD

BC

【例4】 如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是?DAB、?ABC、?BCD、?CDA的

平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形．

ANPBQMCD

【例5】 如图，在?ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长

线于点F，且AF?BD，连结BF． ⑴ 求证：BD?CD．

⑵ 如果AB?AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

FAEBDC【巩固】 ☆ 如图，在?ABC中，点D是AC边上的一个动点，过点D作直线MN∥BC，若MN交?BCA的平分线于点E，交?BCA的外角平分线于点F （1）求证：DE?DF

13.1.2矩形的性质和判定 讲义·学生版 page 2 of 8

（2）当点D运动到何处时，四边形AECF为矩形？请说明理由！ AMEDFNBC【例6】 如图所示，在Rt?ABC中，?ABC?90?，将Rt?ABC绕点C顺时针方向旋转60?得到?DEC点E在AC上，再将Rt?ABC沿着AB所在直线翻转180?得到?ABF连接AD． ⑴ 求证：四边形AFCD是菱形；

⑵ 连接BE并延长交AD于G连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？

AGD

EFBC

【巩固】 如图，在?ABCD中，AE?BC于E，AF?CD于F，?AEF的两条高相交于M，AC?20，

EF?16，求AM的长．

BEMCFD

ADA【例7】 已知，如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE?AC，F是AE中点．求证：BF?DF．

FEBC板块二、矩形的性质及应用

【例8】 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE?AD，DF?AE，垂足为F.线段DF与图中

的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即DF? .(写出一条线段即可)

AFEDBC

【例9】 ☆如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果?BAF?60?， 则?DAE?

13.1.2矩形的性质和判定 讲义·学生版 page 3 of 8 ADE

【巩固】 ☆如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分?BAD交BC于E，若?CAE?15?，求

?BOE= AOCDBFC

【例10】 如图所示，在长方形ABCD中，点M是边AD的中点，点N是边DC的中点，AN与MC交于点

P．若?MCB??NBC?33?，求?MPA的度数．

DMAPBNCBE

【例11】 ☆如图，把矩形ABCD的对角线AC分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边与原矩形的边

平行，设这四个小矩形的周长和为P，矩形ABCD的周长为L，则P与L的关系式

ADBC【巩固】 如图，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,AD上的点，且BE?DF. 求证：?ABE≌?CDF.

AFDCB 【例12】 ☆如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BF∥DE，若AD?12cm，AB?7cm，且AE:EB?5:2，则阴影部分EBPD的面积为

AEDFBCE

【例13】 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AE?BD于E，?DAE∶?BAE?3∶1，则

?EAC?_______．

13.1.2矩形的性质和判定 讲义·学生版 page 4 of 8