函数、极限与连续复习题参考答案

函数、极限与连续 复习题

一.填空题: 1. 函数y?ln1?x的奇偶性是奇函数. x?111x2. 设f(?1)?，则f(x)?.

1?xx2x?13. 函数y?e1?x的复合过程是y?eu,u?1?x.

4. 函数y?sin1?2x的复合过程是y?sinu,u?v,v?1?2x. 5. 设f(x)的定义域是[0,1] , 则函数y=f(lnx)的定义域[1,e]

sinx? 0 . x??x17. lim(1?)n?e?1

n??n6. lim2n2?38. lim4=0

n??n?4n?5x2?2x?k?4，则k=___-3_. 9. 设limx?3x?34x2?3?ax?b，limf(x)?0，则a?__-4_，b?__-4. 10. 设f(x)?x??x?111. 设x?0时，axb与tanx?sinx为等价无穷小，则a?__12. 函数y?二、选择题 1、y?ln(x?1)?1的定义域为（A ） x?21__，b?__3__. 21的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(??,?1),(?1,3),(3,??). 2x?2x?3A、（—1，+∞） B、(?1,1] C、（—1，1） D、（1，+∞） 2、当x?0时，下列变量为无穷小量的是（ D ）

11A、sin B、cos C、ex D、ln(1?x2)

xx

1

13、limf(x)?A（A为常数），则f(x)在x0处（ D）

x?x0A、一定有定义 B、一定无定义 C、有定义且f(x0)?A D、不一定有定义

?ex,当x?0时；4、设f(x)??2在点x?0连续，则a的值等于（D ）

?x?2a,当x?0A、0 B、1 C、—1 D、5、函数f(x)=

2，则x=3是函数f(x)的（D） x?31 2A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、无穷间断点 6、f(x)在x0处左、右极限存在是f(x)在x0处连续的（ B ）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、以上都不是 三.求下列极限: 1. limx(x2?1?x)

x???解：limx(x?1?x)=limx???2x(x2?1?x)(x2?1?x)x?1?xxx2?1?x2x???

?xlim???=xlim???11= 211?2?1xtanx?sinx 3xtanx?sinxsinx(1?cosx)sinx11?cosxlim?lim() 解：lim=x?0x?0x?0x3x3cosxxcosxx2x21?cosx2=1 =lim=limx?0x?0x2x222. limx?0?x?1?3. lim??

x??x?1??1??x1???e?1?2?x?1?x解：lim?=e ?=lim??=x??1x??x?1e???1??x??xx4. limx?0x?sin2x

x?sin3x 2

sin2xx?sin2xx=1?2??3 解：lim=limx?0x?0x?sin3xsin3x1?321?x1x2sinx 5. limx??2x?511x2sinsinx=lim(x?x)=1?1?1 解：limx??x??2x?5222x?51x1?6.

?x?0limx??x?x

?x：

解

?xlx?0?x?(?x(i

??xx?x?1,x?0,四.讨论函数f(x)??在点x?0处的连续性,并作出它的图像.

2?x,x?0?解：在点x=0处

f(0?0)?lim(x?1)?1，f(0?0)?lim(2?x)?2

x?0?x?0?f(0?0)?f(0?0)

?函数f(x)在点x=0处不连续 函数的图形如下

1??xsin,x?0,要使f(x)在(??,??)内连续,应当怎样选择数a. 五.设f(x)??x2??a?x,x?0.1解：x?0时,f(x)?xsin是初等函数，连续

x 3

x?0时,f(x)?a?x2是初等函数，连续

在x=0处，f(0?0)?lim(a?x2)?a，f(0?0)?limxsinx?0?x?0?1?0,f(0)?a x则当f(0?0)?f(0?0)?f(0)即a=0时函数f(x)在x=0处连续 因此，当a=0f(x)在(??,??)连续

?1,x?1,?六.设f(x)??ex求函数f(x)的间断点,并说明间断点的类型.

??ln(x?1),?1?x?1.解：在点x=1处

f(1?0)?limx?1?11?，f(1?0)?limln(x?1)?ln2

x?1exe?f(1?0)?f(1?0) ?x=1是函数的第一类间断点（跳跃间断点）

七.某农户有稻谷10吨要出售.当购买量在4吨以内时，定价500元/吨；当购买量在4吨至8吨时，超出4吨部分定价450元/吨；当购买量大于8吨时，超出8吨部分定价400元/吨.试将销售总收入与销量的函数关系式列出来. 解：设x表示销量，f(x)表示销售总收入，由题意知

当0?x?4时，f(x)?500x

当4?x?8时，f(x)?2000?450(x?4)?450x?200

当x?8时，f(x)?2000?450?(8?4)?400(x?8)?400x?600

?500x,?于是f(x)??450x?200,?400x?600,?0?x?44?x?8 8?x?10 4