新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率6第6讲离散型随机变量及其分布列高效演练分层突破

P 7 1225 843 281 842.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列．

解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C8＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝82

＝. 287

2

(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为

X P －2 1 14－1 5 140 2 71 2 713.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从

7袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X表示终止时所需要的取球次数．

(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n个白球，

n（n－1）

1Cn由题意知＝2＝7C7

2

27×62

＝n（n－1）

7×6

，

所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．

(2)由题意知X的可能取值为1，2，3，4，5.

5

P(X＝1)＝37

； P(X＝2)＝4×37×6＝2

7； P(X＝3)＝4×3×37×6×5＝6

35；

P(X＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝3

35；

P(X＝5)＝

4×3×2×1×31

7×6×5×4×3＝35

.

所以取球次数X的分布列为

X 1 2 3 4 5 P 32637 7 35 13535 (3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A， 则P(A)＝P(X＝1或X＝3或X＝5)．

因为事件“X＝1”“X＝3”“X＝5”两两互斥，

所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝36122

7＋35＋35＝35. 6