新高考数学一轮复习第十章计数原理与古典概率6第6讲离散型随机变量及其分布列高效演练分层突破

第6讲 离散型随机变量及其分布列

[基础题组练]

1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )

A．0 1C. 3

解析：选C.设X的分布列为

1B. 22D. 3

X P 0 1 2p p 1即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.

32．设随机变量Y的分布列为

Y P －1 1 42 3 1 4m 37则“≤Y≤”的概率为( )

221A. 43C. 4

1B. 22D. 3

111

解析：选C.依题意知，＋m＋＝1，则m＝. 4427?113?3

故P?≤Y≤?＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.

2?244?23．设随机变量X的概率分布列如下表所示：

X P 0 1 1 32 1 6a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于( ) 1A. 31C. 2

1B. 65D. 6

1

111

解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝

362

P(X≤x)＝＋＝.

4．已知离散型随机变量X的分布列为 11

2356

X P 则P(X∈Z)＝( )

0 0.5 1 1－2q 2 1q 3A．0.9 C．0.7

B．0.8 D．0.6

1

解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q＋q＝1，解得

3

q＝0.3，所以P(X∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.

5．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，

其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所1231以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.

3636366

1答案： 6

6．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．

解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，1

所以a＝，

3

1

－d≥0，311由得－≤d≤.

331

＋d≥0，3

?????

?11?答案：?－，?

?33?

7．若离散型随机变量X的分布列为

X P 0 9c－c 21 3－8c 则常数c＝________，P(X＝1)＝________． 2

9c－c≥0，??

解析：由分布列的性质知，?3－8c≥0，

??9c2－c＋3－8c＝1，111

解得c＝，故P(X＝1)＝3－8×＝. 33311

答案：

33

8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再2

取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．

解析：X的所有可能值为0，1，2. 11

P(X＝0)＝C1C11

C1C1＝，

22411P(X＝1)＝C1C1×21

C1C1＝，

222C11P(X＝2)＝1C11

C11＝.

2C24所以X的分布列为

X 0 1 2 P 1114 2 4 答案：

X 0 1 2 P 1114 2 4 9.抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X的可能取值为0，1，2，3. 0

1

P(X＝0)＝C31C33

23＝8；P(X＝1)＝23＝8；

C2

3

P(X＝2)＝33C31

23＝8；P(X＝3)＝23＝8. 所以X的分布列为

X 0 1 2 3 P 1 33188 8 8 (2)至少出现两次正面向上的概率为

3

P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.

10．(2020·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．

(1)求该顾客中奖的概率；

(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列． C4C6152

解：(1)该顾客中奖的概率P＝1－2＝1－＝. C10453(2)X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 C4C61C3C62

P(X＝0)＝2＝，P(X＝10)＝2＝，

C103C105C31C1C62

P(X＝20)＝2＝，P(X＝50)＝2＝，

C1015C1015C1C31

P(X＝60)＝2＝. C1015故X的分布列为

112

11

02

11

02

381182

X P 0 1 310 2 520 1 1550 2 15[综合题组练] 60 1 151．(2020·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．

(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；

(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列．

解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号C4C72812相同”为事件B，则P(B)＝3＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝.

C98433

(2)X的取值为1，2，3，4，

C2C7＋C2C749C2C5＋C2C525

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 33

C984C984C2C3＋C2C3911

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝3＝. 3

C984C984所以X的分布列为

12

21

12

21

12

21

11

X 1 2 3 4 4