高中数学必修3教案讲义（全面、难点有答案）

①向上的点数相同的概率； ②向上的点数之积为偶数的概率．

要点7：几何概率

（1）几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． （2）几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等． （3）几何概型的概率

一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件

A，则事件A发生的概率P(A)?d的长度（面积或体积）．

D的长度（面积或体积）例7：取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如下图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）

分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比． 解：记＂豆子落入圆内＂为事件A，则

圆面积?a2?P(A)??2?．

正方形面积4a4答：豆子落入圆内的概率为

?． 4 例7-图

例8：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．（＂

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测度＂为长度）

分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D．当点M位于图3?3?5中线段AC'内时，AM?AC，故线段AC即为区域d．

'解：在AB上截取AC?AC．于是

'P(AM?AC)?P(AM?AC')

AC'AC2? ?． ?ABAB2答：AM小于AC的概率为

练习8：已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。 2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．

2． 21； 11212．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．

63解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)=

练习9：在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于

A．

S的概率是（ ） 42 31 2 B．

3 4 C．

1 4 D．

练习10： 向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于

S的概率是_________ 2练习11：一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A．

例9： 一根杆子长l?50mm，任意地将其折成几段，杆子折段在任何位置是等可能的，试分

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3 4B．

2 3C．

13 D．

1 2

别求每段杆子的长度均不少于10mm的概率。 （1）折段点为一个；（2）折段点为二个。

例10：甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

练习12：假设你家订了一份报纸，送报员可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间，问你父亲离开家前能够得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（答案0.875）

练习13： 假如往由直线x??1,x?1,y?0,y?1围成的矩形中投入500颗豆子，若有350颗落入下图中的阴影部分，据此估计下图中阴影部分的面积是多少？

要点8（补充）：内心、外心、重心、垂心

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(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。

(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 (3)重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 (4)垂心：三条高所在直线的交点。

二、课后作业

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1：判断

（1）若事件A与B 互斥，则事件A与B对立。（ ） （2）若事件A与B对立，则事件A与B对立互斥。（ ）

（3）一个袋子里面有4个红球，3个白球，，2个黑球，若往里面随机取一个并以小球的颜色为基本事件，则共有3个基本事件，所以随机取一球，这球为白球、红球和黑球的概率都为（ ）

2：同时抛掷两个骰子，计算：

①向上的点数不同的概率； ②向上的点数之积为奇数的概率．

3： 向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于

4：假设你家订了一份报纸，送报员可能在早上7:00至8:00之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上6:30至7:30之间，问你父亲离开家前能够得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

5： 假如往由直线x??1,x?1,y?0,y?1围成的矩形中投入500颗豆子，若有400颗落入下图中的阴影部分，据此估计下图中阴影部分的面积是多少？

1。3S的概率是_________ 3 33 / 33