高中数学必修3教案讲义（全面、难点有答案）

练习1：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示

抛掷次数2 0484 04012 00024 00030 00072 088正面向上次数1 0612 0486 01912 01214 98436 124频率0.51810.50690.50160.50050.49960.5011在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？若投郑一枚硬币，出现正面向上的概率是多少呢？

练习2：判断

（1）事件A发生的频率是不变的。（ ） （2）事件A发生的概率是不变的。（ ）

（3）有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。（ ）

练习3：若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1000张的话是否一定会中奖？

要点3：极大似然法

例2： 在一个不透明的袋子中有两种球，一种白球，一种红球，并且这两种球一种有99个，另一种只有1个，若一个人从中随机摸出1球，结果是红色的，那你认为袋中究竟哪种球会是99个？

极大似然法：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，例如在例题2中我们所做的推断。这种判断问题的方法称为极大似然法。

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要点4：事件的关系与运算

（1） 一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为:任何事件都包含不可能事件.

（2）一般地，当两个事件A、B满足: 若B ? A，且A ?B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.

(3)一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).

(4)类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）

（5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝?，此时，称事件A与事件B互斥。

（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A与事件B有且只有一个发生.

例3：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件： C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝， C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝， C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝， D1＝｛出现的点数不大于1｝， D2＝｛出现的点数大于4｝， D3＝｛出现的点数小于6｝， E＝｛出现的点数小于7｝， F＝｛出现的点数大于6｝， G＝｛出现的点数为偶数｝， H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.

（1）上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?

（2）如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？

（3）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？ (4 )如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？

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B?A(或A?B)。特别地，不可能事件用Ф表示；

练习4：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？

练习5：一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ D ） A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶

练习6：把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( B ) A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 必然事件 D. 不可能事件

要点5：概率的几个基本性质

（1）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式. （2）若事件A与事件B互为对立事件，则: P(A)＋P(B)＝1.

（3）如果事件A1,A2，?，An中任何两个都互斥, P(A1 + A2 +?+ An)= P(A1)+P(A2)+?+P(An). （4）任何事件的概率都介于0和1之间。不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1. （5）概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)=P(A)＋P(B)?P(AB).

例4：某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）少于7环的概率。

解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。

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要点6：古典概率

（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；

（2）等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；

（3）古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型

①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件的发生都是等可能的； （4）古典概型的概率：

如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是

1m，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)?． nn例5：有5个小球，其中2个白色小球的编好分别为1和2；3个黑色小球的颜色分别为3、4、5。从5个小球中随机抽取一个，若以小球的编号为基本事件，则共有几个基本事件，这些基本事件发生的概率相等吗？若以小球的颜色为基本事件，则有几个基本事件，这些基本事件发生的概率相等吗？

例6：将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：

（1）共有多少种不同的结果？

（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数和是3的倍数的概率是多少？

解：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有6?6?36种不同的结果；

(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6?2?12种不同的结果．

(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A，则事件A的结果有12种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为P(A)?练习7：同时抛掷两个骰子，计算：

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