2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅱ卷)(含答案)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka - b与a垂直，则k=_______.

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种。

15.设复数z1，z2满足z1?z2?2,则z1?z2?3?i，则z1?z2?_______ 16.设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l?平面?，直线m?平面?，则m?l.

则下述命题中所有真命题的序号是_________. ①p1?p4 ②p1?p2 ③?p2?p3 ④?p3??p4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题，共60分。 17.（12分）

?ABC中，sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC，

（1） 求A；

（2） 若BC?3，求?ABC周长的最大值.

18.（12分）

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据

（xi，yi）（i=1,2，???，20），其中

xi和

yi分

别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得

?x=60，?y=1200，??x-x?=80，??y-y?=9000，??x-x??y-y?=800.

iiiiiii=1i=1i=1i=1i=1202020220220（1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野

生动物数量的平均数乘以地块数）

（2） 求样本

?xi,yi??i?1,2,…,20?的相关系数（精确到0.01）

；

（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得

该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

r?附：相关系数

19. (12分)

??x?x??yii?1ni?y??2??i?1nxi?x???2i?1nyi?y，2?1.414.

x2y2已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心

ab与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A、B两点，交C2于C、D两点，且

CD?4AB. 3（1） 求C1的离心率；

（2） 设M是C1与C2的公共点.若MF?5，求C1与C2的标准方程.

20.如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M,N分别为BC,B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1MN，且平面A1AMN?平面EB1C1F；

（2）设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且

AO?AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值

21．（12分）

已知函数f?x??sin2xsin2x

（1） 讨论f?x?在区间?0，??的单调性； （2） 证明：f?x??33； 82222n3n（3） 设n?N，证明sinxsin2xsin4x…sin2x?n.

4?

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

已知曲线C1,C2的参数方程分别为

1?x?t?????x?4cos?,t,(t为参数），C2：， C1：(?为参数）??21??y?t??y?4sin??t?2

（1） 将C1,C2的参数方程化为普通方程：

（2） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1,C2的交点为P，

求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)?x-a2?x-2a+1.

（1） 当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集； （2） 若f(x)≥4，求a的取值范围.