一个面积公式巧解两个解析几何高考题

一个面积公式巧解两个解析几何高考题

一、一个三角形面积公式（下称引理）：

uuuruuur1在?ABC中，若AB?(x1,y1)，AC?(x2,y2)，则?ABC的面积S?|x1y2?x2y1|．

2ruuur1uuu1222|AC|sinA?x1?y12x2?y21?cos2A 证明：S?|AB|g22??1xx?yy2122222222?(x?y)(x?y)?(xx?yy) x1?y12x2?y21?2122111221212222(x1?y1)(x2?y2)211(x1y2?x2y1)2?|x1y2?x2y1|．（还可以利用割补法证明） 22二、2011年山东理科高考解析几何题

x2y26??1交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两不同点，且?OPQ的面积S?OPQ?已知直线l与椭圆C:，322其中O为坐标原点．

2222（Ⅰ）证明：x1和y1均为定值． ?x2?y2|PQ|的最大值． （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|·（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S?ODE?S?ODG?S?OEG?6？若存在，判断?DEG的2形状；若不存在，说明理由．

本文主要研究这个题目的第（Ⅰ）问．这个题目第（Ⅰ）问，起点比前几年第（Ⅰ）问高了许多（整个大题50000考生零分，平均分不足3分），前几年第（Ⅰ）问多数为求曲线方程，比较简单．为了便于比较，我们先展示命题组提供的第（Ⅰ）问标准答案：

①当l斜率不存在时，P、Q关于x轴对称，x2?x1，y2??y1，因为 P(x1,y1)在椭圆上，

x12y1266222??1，所以又S?OPQ?|x1||y1|?，所以|x1|?，此时x1 |y1|?1，?x2?3，y12?y2?2．3222②当l斜率存在时，设l:y?kx?m(m?0)，

x2y2??1得(2?3k2)x2?6kmx?3(m2?2)?0， 代入32其中??36km?12(2?3k)(m?2)?24(3k?m?2)?0，

222222?6km3(m2?2)x1?x2?，x1x2?，

2?3k22?3k2 1

24(3k2?m2?2)， |PQ|?1?k·|x1?x2|?1?k·2?3k222又O到直线l的距离d?|m|1?k2，

所以S?OPQ24(3k2?m2?2)|m|1162?|PQ|d?1?k··?，

2222?3k221?k22所以3k?2?2m，满足??0，

2x12x2?6km23(m2?2)22)?2??3，y1?y2?2(1?)?2(1?)?2． 此时x?x?(222?3k2?3k332122下面给出巧用三角形面积公式的解法：

由引理S?OPQ?16，所以(x1y2?x2y1)2?6， |x1y2?x2y1|?22222222即x1y2?x2y1?6?2x1x2y1y2，又2x12?3y12?6，2x2?3y2?6，

2222222222所以(2x1 ?3y12)(2x2?3y2)?4x12x2?6(x12y2?x2y1)?9y12y2?4x12x2?36?12x1x2y1y2?9y12y2?36，222所以(2x1x2?3y1y2)2?0，所以2x1x2?3y1y2?0，所以4x1， x2?9y12y22222所以4x1x2?(2x12?6)(2x2?6)，整理即得，x12?x2?3， 2222又2(x1?x2)?3(y12?y2)?12，所以y12?y2?2．

两种解法的比较：

前一种解法，是大多数学生熟悉的解法，特别是从特殊情况讨论的办法，值得同学们重视．一般地，定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值，使对一般情况的研究有了方向．

后一种解法，大多数学生不熟悉，但是这个解法避开了分类讨论，减少了运算量，其中的配方、整体代换等变形技巧高，值得细细品味． 三、2013年山东文科高考解析几何题

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为

2． 2uuuruuur点P．设OP＝tOE，求实数t的值．

6的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于4显然这个题目恰好是在2011年山东理科高考解析几何题的基础上改编的，只是吸取了2011年的教训，把第一问设计的比较简单，但是第（Ⅱ）问的解答计算量仍然是很大的． 我们仍然先展示命题组提供的第（2）问的标准答案：

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