云南省昆明一中2019届高三年级5月月考数学试题(文)

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?23 ax?x2?(3?a)x (a?0)3 （1）若x?1是f(x)的极值点,求实数a的值

（2） 若函数f(x)在??1,1?上存在极值点, 求实数a的取值范围 22．（本小题满分12分）

已知VAOB的顶点A在射线l1:y=3x(x>0)上， A, B两点关于x轴对称，O

为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|?|MB|3．当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W.

（Ⅰ） 求轨迹W的方程；

uuuruuur （Ⅱ） 设N （2,0），是否存在过N的直线l与W相交于P、Q两点，使得OP?OQ若存在，求出直线l，若不存在，说明理由。

1.

参考答案

一、选择题

1、B 2、A 3、D 4、C 5、C 6、D 7、C 8、B 9、C 10、D 11、A 12、D 二、填空题：

13、2 14、120 15、 25 16、1 三、解答题： 17．解：

（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． ……………（4分） 6?????A? ?? （Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???????cosA?sin??A?

?6?13?cosA?cosA?sinA

22????3sin?A??．

3??由△ABC为锐角三角形知，

??????，?A??B???．又0?A? 222632??2???? ??A?，??A??32336A?B?所以

1??3? ?sin?A???232??3??3??3sin?A???， 23?2?由此有

?33?所以，cosA?sinC的取值范围为???2，?． ……………（10分） 2P ??18．解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC?平面AC，∴PA⊥BC ∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，

A B D C

∴BC⊥平面PAC …………… （4分）

（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，

又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE 建立如图所示空间直角坐标系，则

A（0，，0，0），P（0，0，3），C（AP?(0,0,3)AC?(3131，D（,，0）,?，0）

22223131,,0)PD?(,?,?3) 2222_ z

易求n1?(3,?3,0)为平面PAC的一个法向量. n2?(2,0,1)为平面PDC的一个法向量

_ P_ A

_ D_ x

_ C

_ yB_

∴cos?n1,n2??n1?n25? 5|n1|?|n2|故二面角D-PC-A的正切值为2． ……………（12分）

3A3119．解：（1）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)?24?，

C5A440即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

1．……………………6分 40 （2）设事件B为有一人参加A岗位服务，则

3C52A331P(B)?24?．所以P(B)?1?P(B)?， ……………（12分）

4C5A4420．（1）解：设等差数列{log2(an?1)}的公差为d

由a1?3,a3?9得2d?log28?log22, 即d=1.

n所以log2(an?1)?1?(n?1)??n,即an?2?1. …………6分

1an?1?an2n?11111?n?1n?n，所以?n? （II）证明因为

1an?1?an2?2222an?an?1所以Sn=

1111111?????1?2?3???n

a2?a1a3?a2an?1?an222211(1?n)2?1?1 …………12分 ?2n121?221．解：（1）

f?(x)?2ax2?2x?(3?a) ?f?(1)?2a?2?(3?a)?0

得a?1 ……………（5分）

（2）由已知得f?(x)?0在??1,1?至少有一个根（不是重根） （ⅰ）f?(x)?0在??1,1?只有一个根（不是重根）得f?(?1)f?(1)?0 ?(a?5)(a?1)?0 ?1?a?5

2 a?5时f?(x)?2ax?2x?(3?a)?0的根为-1或

4 ?a?5 ?1?a?5 5 （ⅱ）f?(x)?0在??1,1?有两个不等的实数根

1??1???1?2a?? ??f?(?1)?0 得 a?5

?f?(1)?0?????4?8a(3?a)?0?a?1 ……………（12分）

22．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：因为A, B两点关于x轴对称，所以AB边所在直线与y轴平行．

设M（x, y），由题意，得A(x,3x),B(x,- ?|AM|?3x)，

3x?y,|MB?|y?，3 x

2y2Q|AM|?|MB|3，?(3x?y)?(y?3x)?3，即x??1

3y22所以点M的轨迹W的方程为x??1(x?0)． -----------------------------5分

3 （Ⅱ）假设存在，设l:y?k(x?2)或x?2，P(x1,y1),Q(x2,y2)， 当直线l:y?k(x?2)时：

?2y2x??1的解，

由题意，知点P，Q的坐标是方程组?3??y?k(x?2)? 消去y得(3?k2)x2?4k2x?4k2?3?0，

所以??(4k2)2?4(3?k2)(?4k2?3)?36(k2?1)?0，且3?k2?0，