奥数：五年级奥数 几何 圆与扇形包含与排除和旋转对称（B级）.学生版

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包含与排除和旋转对称

课前预习

捆地球的绳子

假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，?取3.14） 答案提示：地球赤道长：2?r?2?3.14?6400?40192（千米），所以绳长40192千米； 一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：

40192001?2??6400000?0.159（米），大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。简直不可思议！

知识框架

圆的知识：

1. 当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，

点O叫做这个圆的圆心.

2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径. 3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径. 4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧. 5. 圆周长=直径×π=半径×2π 圆面积=π×半径2

扇形的知识：

1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫

做圆心角. 2. 我们经常说的

111圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆246奥数精品

心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是

n． 360n?rn?rn?r23. 扇形中的弧长= .扇形的周长= +2r.扇形的面积= =

180180360.

弓形的知识：

弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。【一般来说，弓形面积?扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】

常用方法：

1. 常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

2. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重

叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。

3. 旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算

的方法。

重难点

重点：利用容斥原理就是重叠相减法求面积。

旋转图形问题的重点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。

难点：利用容斥原理如何对重叠部分的面积进行正确的处理。

如何利用旋转对称对所求图形进行简化。

例题精讲

【例 1】 如图，直角三角形的边长分别为6，8，10，求阴影部分的面积．(π取3)