2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题42 综合性问题(含解析)

2. （2019?湖南邵阳?3分）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是 （﹣2，﹣2） ．

【分析】作BH⊥y轴于H，如图，利用等边三角形的性质得到OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，再计算出BH，从而得到B点坐标为（2，2求出点B′的坐标．

【解答】解：作BH⊥y轴于H，如图， ∵△OAB为等边三角形， ∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°， ∴BH＝

OH＝2

， ），

），然后根据关于原点对称的点的坐标特征

∴B点坐标为（2，2

∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′， ∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2故答案为（﹣2，﹣2

）．

）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等边三角形的性质．

3. （2019?湖南岳阳?4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A.B两点分别作PE的垂线AC.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）

①AM平分∠CAB； ②AM＝AC?AB；

③若AB＝4，∠APE＝30°，则

的长为

； ．

2

④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝

【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出

的长为

，故③错误；由BD∥AC可得PB＝

，可得出CM＝DM＝DP＝

，则PB＝，故④正确．

OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2【解答】解：连接OM，

∵PE为⊙O的切线， ∴OM⊥PC， ∵AC⊥PC， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠AMO， ∵OA＝OM， ∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确； ∵AB为⊙O的直径，

∴∠AMB＝90°，

∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB， ∴△ACM∽△AMB， ∴

2

，

∴AM＝AC?AB，故②正确； ∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴

的长为

，故③错误；

∵BD⊥PC，AC⊥PC， ∴BD∥AC， ∴∴PB＝∴

， ， ，BD＝

，

∴PB＝OB＝OA， ∴在Rt△OMP中，OM＝∴∠OPM＝30°， ∴PM＝2

，

，故④正确．

＝2，

∴CM＝DM＝DP＝

故答案为：①②④．

【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题． 4.

（2019?湖北十堰?3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 6π ．

【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．

【解答】解：由图可得， 图中阴影部分的面积为：故答案为：6π．

【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

5. （2019?湖北十堰?3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．

＝6π，

【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．

【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，

∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上， ∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF， 在Rt△ABF中，BF＝∵∠EAF＝90°， ∴∠BAF+∠BAH＝90°， ∵∠DAH+∠BAH＝90°， ∴∠DAH＝∠BAF，

＝3，