2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题42 综合性问题(含解析)

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称﹣最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．

10. （2019?湖北孝感?3分）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论． 【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5，

在△BCE和△CDF中，

，

∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF，

∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE， cos∠CBE＝cos∠ECG＝∴

，CG＝

，

＝

， ，

∴GF＝CF﹣CG＝5﹣故选：A．

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．

二.填空题

1. （2019?湖南长沙?3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：

①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+

；④若MF＝MB，则MD＝2MA．

其中正确的结论的序号是 ①③④ ．（只填序号）

【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．

②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．

③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k＝m+推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．

④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：①设点A（m，），M（n，）， 则直线AC的解析式为y＝﹣∴C（m+n，0），D（0，∴S△ODM＝

n×

＝

x++， ），

，S△OCA＝

（m+n）×＝

，

2

2

，

∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM＝OA， ∴k＝mn，

∴A（m，n），M（n，m）， ∴AM＝

（n﹣m），OM＝

，

∴AM不一定等于OM， ∴∠BAM不一定是60°，

∴∠MBA不一定是30°．故②错误， ∵M点的横坐标为1， ∴可以假设M（1，k）， ∵△OAM为等边三角形， ∴OA＝OM＝AM， 1+k＝m+

2

2

，

∴m＝k， ∵OM＝AM， ∴（1﹣m）+∴k﹣4k+1＝0， ∴k＝2∵m＞1， ∴k＝2+

，故③正确， ，

2

2

＝1+k，

2

如图，作MK∥OD交OA于K． ∵OF∥MK， ∴∴

＝

＝，

＝，

∵OA＝OB， ∴∴

＝， ＝，

∵KM∥OD， ∴

＝

＝2，

∴DM＝2AM，故④正确． 故答案为①③④．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．