2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题42 综合性问题(含解析)

∵PD＝ND，AE＝CD， ∴CD＝4PD，故C结论正确； ∵EG＝x，FG＝2x， ∴EF＝

x，

x，

∵FH＝FD＝∵BC＝∴AE＝

x， x，

作HQ⊥AD于Q， ∴HQ∥AB，

∴＝，即＝，

∴HQ＝x，

x﹣

x＝

x，

∴CD﹣HQ＝

∴cos∠HCD＝故选：D．

＝＝，故结论D错误，

【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键． 8

（2019?湖南长沙?3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是

线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）

A．2

B．4

C．5

D．10

＝2，设AE＝a，BE＝2a，

BD＝CD+DH，由垂

【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝线段最短即可解决问题．

【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

BD，推出CD+

∵BE⊥AC， ∴∠ABE＝90°， ∵tanA＝

＝2，设AE＝a，BE＝2a，

2

2

则有：100＝a+4a， ∴a＝20， ∴a＝2

或﹣2

（舍弃）， ，

2

∴BE＝2a＝4

∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC， ∴CM＝BE＝4

（等腰三角形两腰上的高相等））

∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA， ∴sin∠DBH＝∴DH＝

BD，

＝

＝

，

∴CD+BD＝CD+DH，

∴CD+DH≥CM， ∴CD+∴CD+

BD≥4

，

．

BD的最小值为4

故选：B．

【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

9.（2019?湖北黄石?3分）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝

：1，

将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时

＝（ ）

A．

B．

C．

D．

a，根据矩形的性质可得△ABE.△

【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝

CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2明CF＝CD＝2

，再证

．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，

），B′（3，﹣

则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，22

），E（0，

），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利

＝

＝

． a，

用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出

【解答】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝∴BD＝AC＝

＝

，

＝2a，∠ABD＝60°，

∴△ABE.△CDE都是等边三角形， ∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a． ∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F， ∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝

a．

在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2， ∴GM＝BG＝1，BM＝∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣

GM＝．

，

∵矩形ABCD中，BC∥AD， ∴△ADM∽△GBM， ∴

＝

，即，

，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4

．

＝

，

∴a＝2

∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2

易证∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°， ∴△ADF是等边三角形， ∵AC平分∠DAF， ∴AC垂直平分DF， ∴CF＝CD＝2

．

作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．

如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2易求直线B′E的解析式为y＝﹣∴H（1，0）， ∴BH＝∴

＝

＝

．

＝4，

x+

，

），B′（3，﹣2

），E（0，

），

故选：B．