2018-2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷2,包含解析)

旧养殖法 新养殖法 K=200?（62?66-34?38）2

62 34

38 66 100?100?96?104≈15.705由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 【考点】频率分布直方图

【名师点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为1； （2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和 （3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性 20.（12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆C

上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP?2NM

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1.证明过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F. 【答案】（1）

（2）见解析

21.

（12分）

设函数f(x)?(1?x2)ex. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x?0时，f(x)?ax?1，求a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）在(??,?1?2) 和(?1?2,??)单调递减，在(?1?2,?1?2)单调递增（Ⅱ）[1,??) 【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对a分类讨论，当a≥1时

，

f(?x)?(1xx?)x(?e1满a足?x条?)，x?件；当

a?0x0?时，取

x0?5?1,f(x0)?(1?x0)(1?x0)2?1?ax0?1，当20＜a＜1时，取

5?4a?1，

2 (2) f(x)?(1?x)(1?x)ex

当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）e，h’(x)= -xe＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1， 故h(x)≤1，所以

xxf(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=e-x-1，g’（x）=e-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，f(x)?(1?x)(1?x)2，(1?x)(1?x)2?ax?1?x(1?a?x?x2)，取x0?则x0?(0,1),(1?x0)(1?x0)?ax0?0,故f(x0)?ax0?1 当a?0时，取x0?2xx5?4a?1 25?1,f(x0)?(1?x0)(1?x0)2?1?ax0?1 2综上，a的取值范围[1，+∞）

【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立

【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为

?cos??4。

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为(2,2?3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。

2【答案】(1)?x?2??y?4?x?0?；

(2) 2?3。

（2）

设点B的极坐标为??B,????B?0?,由题设知OA?2,?B?4cos?,于是△OAB面积

S?1OA??B?sin?AOB2????4cos??sin????3? ???3??2sin?2????3?2??2?3。当????12时，S取得最大值2?3。

所以△OAB面积的最大值为2?3。

【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。