2019最新高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差2-3-2离散型随机变量的方差课后

【2019最新】高中数学第二章随机变量及其分布2-3离散型随机变量的均值与方差2-3-2离散型随机变量的方差课后导练 离散型随机

变量的方差

课后导练

基础达标

1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( )

35 1235C.Eξ=3.5,Dξ=3.5 D.Eξ=3.5,Dξ=

16A.Eξ=3.5,Dξ=3.5 B.Eξ=3.5,Dξ=

2

解析：ξ可以取1，2，3，4，5，6.

P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)= ∴Eξ=1×

1, 6111111+2×+3×+4×+5×+6×=3.5, 6666662

2

2

2

2

2

Dξ=［(1-3.5)+(2-3.5)+(3-3.5)+(4-3.5)+(5-3.5)+(6-3.5)］×

117.535=. ?6612答案：B

2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是( )

k10-k

A.Eξ=0.1 B.Dξ=0.1 C.P(ξ=k)=0.01·0.99 D.P(ξ=k)=

kk10-kC10·0.99·0.01

解析：ξ—B(n,p),Eξ=10×0.01=0.1. 答案：A

3.已知ξ—B(n,p)，且Eξ=7,Dξ=6,则p等于 ( )

1111 B. C. D. 76541解析：Eξ=np=7,Dξ=np(1-p)=6,所以p=.

7A.

答案：A

4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病 的牛的头数为ξ,则Dξ等于( )

A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 解析：Dξ=10×0.02×0.98=0.196. 答案：C

5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2,已知Eξ1=Eξ2,Dξ1＞Dξ2,则自动包装机_______________的质量较好.

解析：Eξ1=Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.Dξ1＞Dξ2说明甲 机包装重量的差别大，不稳定.∴乙机质量好. 答案：乙

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综合运用

6.下列说法正确的是( )

A.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值. B.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平. C.离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平. D.离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值. 答案：C

7.设服从二项分布B(n,p)的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数

n、p的值为 ( )

A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 解析：由Eξ=2.4=np,Dξ=1.44=np(1-p)可得 1-p=

1.442.4=0.6,p=0.4,n==6. 2.40.4答案：B

8.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的 剩余子弹数目ξ的期望为( )

A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4

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解析：ξ=0,1,2,3,此时P(ξ=0)=0.4,P(ξ=1)=0.6×0.4,P(ξ=2)=0.6×0.4,P(ξ= 3)=0.6,Eξ=2.376. 答案：C

9.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ(

按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量. 已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、

2

240、260、280、300(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a+3a、4a. (1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差； (2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.

2

解析：(1)由概率分布的性质有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a+3a+4a=1.

2

∴100a+7a=0.3, ∴1 000a+70a-3=0,a=

2

31,或a=- (舍去)， 10010即a=0.03,

2

∴100a+3a=0.18,4a=0.12, ∴ξ的分布列为：

ξ P 200 0.12 220 0.18 240 0.20 260 0.20 280 0.18 300 0.12 ∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km).

222222

Dξ=50×0.12+30×0.18+10×0.20+10×0.20+30×0.18+50×0.12=964; (2)由已知η=3ξ-3(ξ＞3,ξ∈Z),

∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)，

2

Dη=D(3ξ-3)=3Dξ=6 723 拓展探究

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10.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20 和0.30.假设各部件的状态相互独立，以ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望

Eξ和方差Dξ.

解析：设A1={部件i需要调整}(i=1,2,3),则P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3.由 题意，ξ有四个可能值0，1，2，3.由于A1,A2,A3相互独立，可见 P(ξ=0)=P(A1A2A3)=0.9×0.8×0.7=0.504;

P(ξ=1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398;

P(ξ=2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092;

P(ξ=3)=P(A1A2A3)=0.1×0.2×0.3=0.006. ∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6,

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Dξ=Eξ-(Eξ)=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.6=0.82-0.36=0.46. 备选习题

11.在一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白

112C22C4?C22球的个数为ξ，则下式等于的是( ) 2C26A.P(0＜ξ≤2) B.P(0≤ξ≤1) C.Dξ D.Eξ 答案：B

12.精制食盐每袋的质量是随机变量，期望值为500 g，标准差为5 g，求装有50袋这种食 盐的一箱质量(不含箱子的质量)的数学期望与标准差.

解析：设ξi表示第i袋食盐的重量(i=1,2,…,50),η表示一箱食盐的总重量，则η=

??i?150i.

∵各ξi相互独立，且Eξi=500,D?i=5(i=1,2,…,50), ∴Eη=E(

??i?1i50i)=

?E?i?1i50i=25 000 g,

50Dη=D(

??i?12

50)=

?D?=?(i?1i?150D?i)2

=1 250 g, ∴D?≈35.4 g.

13.若ξ是离散型随机变量，（ξ=x1)= P求ξ的分布列.

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3276,P(ξ=x2)= ,且x1＜x2,又知Eξ=，Dξ=. 55525解析：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有Eξ=35x1+Dξ=

27x2=, 55322262

x1+x2-Eξ=. 5525?3x1?2x2?7,从而得方程组?2 2?3x1?2x2?11.9?x?,1?x1?1,??5解之得?或?

?x2?2?x?4.2?5?而x1＜x2,

∴x1=1,x2=2. ∴ξ的分布列为 ξ P 1 2 3 52 514.把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数,求Eξ、Dξ. 解析：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.

4A46P（ξ=0）=4?，P（ξ=1）

644123C4C4A436?=,P(ξ=2) 464422222C4C4?C4C4C221?=,P(ξ=3) 64441C41=4?.

644∴ξ的分布列为

ξ P ∴Eξ=

0 1 2 3 6 6436 6421 641 64811695,Dξ. 2646415.摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个

小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望. 解析：设此次摇奖数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6;当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时ξ=12.

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3C87所以，P（ξ=6）=3?，

C10151C82C27P（ξ=9）=， ?315C1012C8C21P（ξ=12）=， ?315C10Eξ=6×

77139+9×+12×=(元) 1515155即此次摇奖获得奖金数额的数学期望是

39元. 5 5 / 5