二次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题(有答案)

等腰三角形直角三角形存在性问题

典例1，如图,二次函数点坐标为

,与y轴交于点

.

的图象与x轴交于点A、B两点,且A

(1)求出这个二次函数的解析式; (2)直接写出点B的坐标为 (3)在x轴是否存在一点P,使坐标;若不存在,请说明理由;

(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由.

是等腰三角形?若存在,求出满足条件的P点

答案详解

解:(1),

,

的图象经过,,

所求解析式为:,

答:这个二次函数的解析式是 (2)解:故答案为:

,

.

.

(3)解:在

,

,①当②当③当④当在解得:

;

,

中,

,

在x轴的负半轴),在x轴的正半轴),在x轴的正半轴),在x轴的正半轴), ,则

;

; ;

时时时时中,设,

答:在x轴存在一点P,使或

或

或

.

是等腰三角形,满足条件的P点坐标是

(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,

即:Q点坐标为连接OQ,

,

,

,

,

,

Q点坐标为

,

答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是

,面积的最大值是

.

解析: (1)因为

的图象经过

,

,代入求出c、a的值,即可得

到答案;

(2)把代入求出x的值,即可得到答案; (3)在时

中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当

在x轴的负半轴),

;③当

时

;②当

在x轴的正半轴),

时

在x轴的正半轴),

时

在x

;④当

轴的正半轴),,即可得出答案;

(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为

,连接OQ,根据

,代入求出即可.

本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.题型较好,综合性强. 练习：

如图,已知抛物线

,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使腰三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由

为等

与x轴交于点

和点

.

答案详解

解:(1)由题知: 解得:

所求抛物线解析式为:

(2)抛物线解析式为:其对称轴为设P点坐标为

,

①当

点坐标为:②当

点坐标为:③当

时,

或时,由勾股定理得: 时,

;

,解得

;

,

,解得

,

,当

,

时,

, ,

;

,解得,