2018-2019学年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 文科数学（二）

??a?． （1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程y?bx（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为

?400t?20,0?t?36,t?NC??，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，

380t,t?36,t?N?多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L?销售收入?原材料费用）．

x?x??yi?y??i?1xiyi?nxy?． ???i?1?i??y?bx参考公式：b，a?nn2?i?1?xi?x??i?1xi2?nx2nn参考数据：?xiyi?1343，?x?558，?yi2?3237．

2ii?1i?1i?1555【答案】（1）y?2.5x?1；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元． 【解析】（1）由所给数据可得：x?y???b13?9?8?10?12?10.4，

532?23?18?24?28······2分 ?25，·

5??5i?1ii52ii?1xy?5xyx?5x2?1343?5?10.4?25??25?2.5?10.4??1，·??y?bx·5?2.5，a2558?5?10.4分

则y关于x的线性回归方程为y?2.5x?1．·······6分

（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当x?15时，y?36.5，即预计需要原材料36.5袋，

?400t?20,0?t?36,t?N因为C??，

380t,t?36,t?N?当t?35时，利润L?700?35??400?35?20??10520； 当t?36时，利润L?700?36?380?36?11520， 当t?37时，利润L?700?36.5?380?37?11490．

综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520

元．

·······12分

19．在三棱锥P?ABC，△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB?2，

O、D分别是AB、PB的中点．

（1）求证：OD//平面PAC；

（2）连接PO，求证：PO?平面ABC； （3）求三棱锥A?PBC的体积．

1【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

3【解析】（1）∵O、D分别为AB、PB的中点．∴OD//PA．···········2分 又PA?平面PAC．OD?平面PAC．∴OD//平面PAC．···········4分

（2）连接OC．∵AC?CB?2，AB?2．∴?ACB?90?，

又O为AB的中点，∴OC?AB，OC?1，同理，PO?AB，···········6分 ······7分 PO?1，又PC?2，而PC2?OC2?PO2?2，∴PO?OC．·

AB?平面ABC，OC?平面ABC，又ABOC?O，

∴PO?平面ABC．···········8分 （3）由（2）可知PO?平面ABC．

∴PO为三棱锥P?ABC的高，PO?1．···········9分

三棱锥A?PBC的体积为：

11?11?VA?PBC?VP?ABC?SABC·PO????2?1??1?．···········12分

33?23?3x2y220．已知椭圆C1的方程为?椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为． ?1，

243（1）求椭圆C2的方程；

（2）如图，M、N分别为直线l与椭圆C1、C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON面积为△POM面积的2倍，若直线l的方程为y?kx(k?0)，求k的值．

x2y2【答案】（1）?（2）k?3． ?1；

416【解析】（1）椭圆C1的长轴在x轴上，且长轴长为4， ∴椭圆C2的短轴在x轴上，且短轴长为4．·········1分

2b?4??y2x2?2设椭圆C2的方程为2?2?1(a?b?0)，则有?b········2分 ?3?1，·ab????1??a22????x2y2∴a?4，b?2，∴椭圆C2的方程为?········5分 ?1．·

416（2）设M?x1,y1?，N?x2,y2?，

由△PON面积为△POM面积的2倍得ON?2OM， ∴x2?2x1．·········6分

?y?kx12?联立方程?x2y2，·········8分 ，消y得x??24k?3?1??43?∴x1?12．同样可求得x2?4k2?316．·········10分 4?k2

∴1612?2，解得k??3，·········11分 4?k24k2?3∵k?0，∴k?3．·········12分

21．已知函数f?x??lnx?ax2??2?a?x?a?R?． （1）讨论函数f?x?的单调性； （2）设g?x??x对任意的x0??0,2?，关于x的方程f?x??g?x0?在?0,e?有?2，xe3?2e． e2?e两个不同的实数根，求实数a的取值范围（其中e=2.71828...为自然对数的底数）． 【答案】（1）答案见解析；（2）?e?a??【解析】（1）f??x???2x?1??ax?1?x?0，·······1分 1?2ax??2?a????xx当a?0时，f??x??0在?0,???上恒成立，f?x?在?0,???单调递增；·····3分

11当a?0时，令f??x??0，解得0?x??，令f??x??0，解得x??，

aa1???1?此时f?x?在?0,??递增，在??,???递减．·······5分

a???a?（2）g?x??1?xx?，所以， gx??2??xxee当x????,1?时，g??x??0，g?x?单调递增， 当x??1,???时，g??x??0，g?x?单调递减，

1??∴x??0,2?时，g?x?的值域为??2,?2?，·······7分

e??当f?x??g?x0?，x??0,e?有两个不同的实数根，则a?0，

????且满足????f?f?e???210???e，·······9分

a?1?1?????2?a?e由f?e??1?ae2?2e?ea??2，∴a??3?2e①， 2e?e