习题立体几何基础题题库1（包括600道经典题目，有非常详细的答案）

过AB和a作平面??，

?∩?＝a′．

a∥??a∥a′ b∥??b∥b′

∴AB⊥a?AB⊥a′，AB⊥b?AB⊥b′ 于是AB⊥??且AB⊥?，∴ ?∥?．

84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b； ②a∥r，b∥r?a∥b； ③α∥c，β∥c?α∥β； ④α∥r，β∥r?α∥β； ⑤a∥c，α∥c?a∥α； ⑥a∥r，α∥r?a∥α． 其中正确的命题是

(A) ①④ (C) ①②③

(B) ①④⑤ (D) ①⑤⑥

( )

解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．

85. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )

(A) 垂直 (B) 平行

P

(C) 相交但不垂直 (D) 要依P点的位置而定

解析：由题设知B1M∥AN且B1M=AN， 四边形ANB1M是平行四边形， 故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．

又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥AMC1，NP?平面B1NC， ∴ NP∥平面AMC1． 答案选B．

86. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a． (1) 求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离． 证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ∵ BB1平行且等于DD1，

∴ 四边形BB1D1D是平行四边形， ∴ BD∥B1D1， ∴ BD∥平面B1D1C． 同理 A1B∥平面B1D1C， 又A1B∩BD=B，

∴ 平面A1BD∥平面B1D1C

解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N． AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD， ∴ AC1⊥BD， 同理可证，AC1⊥A1B，

∴ AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD， 同理可证MN⊥平面B1D1C．

∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，

设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．

∵ M∈平面A1BD，M∈AC1?平面A1C， ∴ M∈A1E． 同理N∈CF．

在矩形AA1C1C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得

MN?1AC1， 33a． 3∴ MN?评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．

87. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点． (1) 求证AB1∥平面C1BD；

(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离． 证明：(1) 设B1C∩BC1=O． 连DO，则O是B1C的中点．

在△ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点． ∴ DO∥AB1，

又DO?平面C1BD，AB1?平面C1BD， ∴ AB1∥平面C1BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， ∴ BD⊥AC，且BD⊥CC1， ∴ BD⊥平面AC1，

平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交线． 在平面AC1内作AH⊥C1D，垂足是H， ∴ AH⊥平面C1BD，

又AB1∥平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离． 由BC=8，B1C=10，得CC1=6， 在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，

sin?C1DC?64?622?313

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC ∴ AH?AD?sin?C1DC?1213． 13即AB1到平面C1BD的距离是

1213． 13评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1∥平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．

88. 已知：直线a∥平面?．求证：经过a和平面?平行的平面有且仅有一个．

证：过a作平面与?交于a?，在?内作直线b?与a?相交，在a上任取一点P，在b?和P确定的平面内，过P作b∥b?．b在?外，b?在?内， ∴ b∥? 而a∥?

∴ a，b确定的平面?过a且平行于?． ∵ 过a，b的平面只有一个，

∴ 过a平行于平面?的平面也只有一个

89. 已知平面?、?、?、?．其中?∩?=l，?∩?=a，?∩?=a?，a∥a?，?∩?=b，?∩?=b?，b∥b?

上述条件能否保证有?∥?？若能，给出证明，若个反例，并添加适当的条件，保证有?∥?． 不足以保证?∥?． 如右图．

b＇bl不能给出一

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