(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数2.6函数模型及函数的综合应用讲义

答:当θ=时,运输总成本最少.

3.(2017江苏镇江期末,17)如图,某公园的三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.

(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;

(2)设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.

解析 (1)依题意得BD=300,BE=100, 在Rt△ABC中,cos B==,∴B=, 在△BDE中,由余弦定理得:

DE=BD+BE-2BD·BE·cos B=300+100-2×300×100×=70 000, ∴DE=100.

答:甲、乙两人之间的距离为100 m. (2)由题意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,

在直角三角形CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycos θ, 在△BDE中,由正弦定理得即

=

,

=

,

2

2

2

2

2

∴y==,0<θ<,

当θ=时,y取得最小值50.

答:y=,0<θ<,且甲、乙之间的最小距离为50 m.

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:30分 时间:15分钟)

解答题(共30分)

1.(2017江苏南京、盐城一模)如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD,上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ=. (1)若设计AB=18米,AD=6米,问能否保证上述采光要求?

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(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)

解析 如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.

(1)因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心为H(9,6), 半径r=9.设太阳光线所在直线的方程为y=-x+b, 即3x+4y-4b=0,

则由=9,

解得b=24或b=(舍).

故太阳光线所在直线的方程为y=-x+24, 令x=30,得EG=1.5,因为1.5<2.5, 所以此时能保证采光要求.

(2)设AD=h,AB=2r,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r. 设太阳光线所在直线的方程为y=-x+b,

即3x+4y-4b=0,由

=r,

解得b=h+2r或b=h-r(舍).

故太阳光线所在直线的方程为y=-x+h+2r, 令x=30,得EG=2r+h-, 由EG≤,得h≤25-2r.

所以活动中心的截面面积S=2rh+πr2

=2rh+r2

≤2r(25-2r)+r2

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=-r+50r=-(r-10)+250≤250. 当且仅当r=10时取等号.

所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大.

2.(2016江苏苏、锡、常、镇四市二模,17)如图是某设计师设计的Y形饰品的平面图,其中支架OA,OB,OC两两成120°角,OC=1,AB=OB+OC,且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为M,且M与OB的长成正比,比例系数为k(k为正常数);在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为N,且N与22

△AOC的面积成正比,比例系数为4k.设OA=x,OB=y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围; (2)求N-M的最大值及相应的x的值. 解析 (1)由题意得,AB=y+1,

在△ABC中,由余弦定理得,x2+y2-2xycos 120°=(y+1)2

,

解得y=.

由x>0,y>0,x>y,得1

所以x的取值范围是.

(2)M=kOB=ky,N=4k·S△AOC=3kx,

且N-M=k(3x-y)=k,

设2-x=t,则t∈,

且N-M=k=k

≤k=(10-4)k.

当且仅当4t=,即t=时取等号,此时t∈,x=2-,

所以当x=2-时,N-M取最大值(10-4)k.

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法 函数的实际应用题

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1.(2018江苏常熟高三期中)如图所示为自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB为2米,梯形的高为1米,CD为3米,上部CFD是个半圆,固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆,且滑动过程中始终保持和CD平行.当MN位于CD下方或上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风).

(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数

y=S(x);

(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S取得最大值?

解析 (1)当0≤x<1时,过A作AK⊥CD于K(如图).

则AK=1,DK=

=,HM=1-x,

由==2,得DH==, ∴HG=3-2DH=2+x,

∴S(x)=HM·HG=(1-x)(2+x)=-x2

-x+2.

当1

则ET=x-1,TN===,

∴MN=2,

∴S(x)=MN·ET=2·(x-1),

综上,S(x)=

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