(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数2.6函数模型及函数的综合应用讲义

§2.6 函数模型及函数的综合应用

考纲解读

五年高考统计

常考题型 预测热度

2013 2014 2015 2016 2017

函数模型及函数函数模型建模求解以17题

B 解答题 ★★★

的综合应用 及函数的综合应用 14分

分析解读 应用题是江苏高考的必考内容,试题主要考查实际问题建模求解.

考点

内容解读

要求

五年高考

考点 函数模型及函数的综合应用

1.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系kx+b

y=e(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 答案 24

2.(2014辽宁改编,12,5分)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足: ①f(0)=f(1)=0;

②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.

若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|

3.(2013课标全国Ⅰ理改编,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是 . 答案 [-2,0]

4.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数

y=(其中a,b为常数)模型.

(1)求a,b的值;

(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).

1

将其分别代入y=解得

,得

(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,

设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-,

则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.

故f(t)==,t∈[5,20].

②设g(t)=t+

2

,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.

当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;

从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15. 答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.

2x

5.(2013课标全国Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=x+ax+b,g(x)=e(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值;

(2)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

解析 (1)由已知得f(0)=2,g(0)=2, f '(0)=4,g'(0)=4.

x

而f '(x)=2x+a,g'(x)=e(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.

2x

(2)由(1)知, f(x)=x+4x+2,g(x)=2e(x+1).

x2

设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke(x+1)-x-4x-2,则

xx

F'(x)=2ke(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke-1). 由题设可得F(0)≥0,即k≥1. 令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2.

2

(i)若1≤k0.即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

22x-2

(ii)若k=e,则F'(x)=2e(x+2)(e-e).从而当x>-2时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.

2

而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

2-2-22

(iii)若k>e,则F(-2)=-2ke+2=-2e(k-e)<0.从而当x≥-2时, f(x)≤kg(x)不可能恒成立.

2

综上,k的取值范围是[1,e].

教师用书专用(6—7)

6.(2017浙江,17,5分)已知a∈R,函数f(x)=是 .

+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围

答案

7.(2013天津理改编,8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)

?A,则实数a的取值范围是 .

答案

三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点 函数模型及函数的综合应用

1.(2016江苏扬州中学质检,17)某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).

(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10 min,求内环线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h,外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行,问:要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短,则内、外环线应各投入几列列车运行? 解析 (1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h,由题意可知×60≤10?v≥20.所以,要使内环线乘客最长候车时间为10 min,列车的最小平均速度是20 km/h.

(2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18-x)列列车运行,设内、外环线乘客最长候车时间分别为t1 min、t2 min,则t1=

×60=,t2=

×60=

.设内、外环线乘客的候车时间之差为t min,于是有

t=|t1-t2|==该函数在(1,9)上递减,在(10,17)上递增.又

t(9)>t(10),所以当内环线投入10列列车运行,外环线投入8列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差最短.

2.(2017江苏扬州期中,18)如图,某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线l上有相距70千米的B,C两个小镇,并且AB=30千米,AC=80千米,已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人,C镇在养殖中心工作的员工有5百人.现欲在B,C之间建一个码头D,运送来自两镇的员工到养殖中心工作,又知水路运输与陆路运输每百人每千米运输成本之比为1∶2. (1)求sin∠ABC的大小;

(2)设∠ADB=θ,试确定θ的大小,使得运输总成本最少.

3

解析 (1)在△ABC中,cos∠ABC===-,所以sin∠ABC=.

(2)在△ABD中,由==得==,

所以AD=,BD==-,

设水路运输每百人每千米的运输成本为k元,陆路运输每百人每千米的运输成本为2k元,k>0, 则运输总成本y=(5CD+3BD)×2k+8×k×AD =2k[5(70-BD)+3BD+4AD]

=20k,

=20k,

令H(θ)=,θ∈,则H'(θ)=,

令H'(θ)=0,解得cos θ=,θ=.

当0<θ<时,H'(θ)<0,H(θ)单调递减;当<θ<时,H'(θ)>0,H(θ)单调递增, ∴当θ=时,H(θ)取得最小值, ∵k>0,∴当θ=时,y取得最小值.

此时BD=-=,满足0

所以θ=时,运输总成本最少.

4