内蒙古呼和浩特市2020届高三数学下学期第二次质量普查调研考试试题 文(含解析)

学生参加过长期实习（称为组学生），从该学校的学生中按分层抽样共抽查了80名学生，调查他们的学习能力得到组学生学习能力的茎叶图，组学生学习能力的频率分布直方图.

（1）问组、组学生各抽查了多少学生，并求出直方图中的；

（2）求组学生学习能力的中位数，并估计组学生学习能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）若规定学习能力在内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的

列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关.能力与实习时间列联表

【答案】（1）20,60,0.027；（2）见解析(3)见解析 【解析】 【分析】

（1）由分层抽样可得组抽查人数20名，B组抽查60名，由频率分布直方图的频率和为1可得x值；（2）茎叶图中根据中位数的定义得结果，频率分布直方图中利用每个矩形的底边的中点横坐标与对应的小矩形的面积的乘积，然后作和，可得结果；（3）由公式计算出观测值，结合临界值表，可得结论.

【详解】（1）由茎叶图知组学生中抽查人数为20名， 组学生中应抽查由频率分布直方图得

（2）由茎叶图知组学生学习能力的中位数为121

由（1）及频率分布直方图，估计组学生学习能力的平均数为

（名）,

，得

.

的

（3）由（1）及所给数据得能力与实习的2×2列联表，

由上表得

因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验的应用，考查学生的分析与计算能力，属于基础题.

20.已知椭圆

的一个焦点与

的焦点重合且点

为椭圆上

一点

（l）求椭圆方程；

（2）过点任作两条与椭圆相交且关于证：直线的斜率是定值 【答案】（1）【解析】 【分析】

；（2）

对称的直线，与椭圆分别交于、两点，求

(1)由已知列出关于a和b的等量关系，可得方程；（2）写出直线AP和直线AQ的方程，将直线AP和直线AQ与椭圆方程联立，得P,Q的横坐标，利用斜率公式和韦达定理进行计算即可得到答案. 【详解】（1）抛物线则椭圆的一个焦点为把点解得：

的焦点为,故

，

带入椭圆方程得：

的方程为

所以，椭圆方程为（2）由题意，可设直线

，

则直线设把直线

的方程为，

，则

，

的方程与椭圆方程联立得：

，故

同理可得

所以

所以，直线的斜率是定值

【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用和韦达定理以及斜率公式的应用，考查学生的推理和计算能力，属于中档题.

21.已知函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值 （2）讨论函数零点的个数. 【答案】（1）【解析】 【分析】

(1)对函数f(x)求导，写出函数的单调区间，由单调性可得函数的最值；（2）令

，变量分离得

构造函数

则

，

；（2）见解析

，对函数g(x)求导，判

断函数单调性，画出函数的图像，由图像可得结果. 【详解】由题设，

（1）当令令在

时，显然，得，得

，，， ，在

在在

上单调递增， 上单调递减， ，

上单调递减，在①

上单调递增，

上，

所以，

（2）由（1）知，令当当

则时，

，所以不是

的零点.

时，①式化为：

设令令当当故

得，得时，时，

，则，则，则当，且当

在在时，时，

上单调递增， 上单调递减，

. .

的图像如图

时

有两个零点， 有一个零点

所以，当当

时，

【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值和函数的零点个数问题，考查函数单调性的应用，属于中档题.

22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，