第十三章 达朗贝尔原理

第十三章 达朗贝尔原理

典型例题

例１３．1 汽车连同所载货物的质量是m，质心C距地面的高度是h，汽车的前，后轮轴到通过质心的铅垂线的距离分别是b和c，如图所示．如果不计车轮的质量，当汽车以加速度a沿水平直线道路行驶时，求前，后车轮给路面的铅垂压力．

解 取汽车为研究对象，如图所示，汽车实际承受的外力有重力G，地面铅直反力FNA和FNB，摩擦力FsA和FsB，其中主动轮B的摩擦力FsB水平向前，而被动轮A的摩擦力FsA则水平向后．

因不计车轮质量，整个汽车做平动，在其质心C上虚加惯性力系的合力FIR??ma． 汽车所受的外力和虚加的惯性力构成矢量平衡关系，因而可写出汽车的动态平衡方程

?M?MA?0： FIRh?Gb?FNB(b?c)?0 （１） ?0： FIRh?Gc?FNB(b?c)?0 （２）

B由式（１）和式（２）求得地面对车轮的铅直反力

FNA?m(gc?ah)b?cm(gb?ah)b?c （a）

FNB? （b）

前，后车轮给路面的压力与相应的铅直反力FNA和FNB大小相等，方向相反． 讨论

１．虚加惯性力后，与汽车实际所受外力（包括主动力和约束力）构成矢量平衡关系，因而可任取未知力的交点为矩心，写出力矩平衡方程后简便求解，这正是根据达朗贝尔原理，采用动静法解题的优点．

２．由式（a）和式（b）知，当加速度a增大时，前轮的反力FNA减小，而后轮的反力FNB增大．因而使阻碍汽车前进的前轮摩擦力FA减小，同时使驱动汽车前进的后轮摩擦力FB增大．当ah?gc时，FNA?0，表明这时汽车的前轮将抬起并脱离路面，FNA?0；这种情况在赛车比赛时可出现．

例１３．２ 复摆的质量为m，可绕光滑水平轴O转动，质心C到转轴O的距离OC?b，它对通过质心C并与图面垂直的轴的回转半径为?C．开始时OC0对铅直线的偏角为?0，然后无初速地释放，试根据达朗贝尔原理，用动静法求复摆OC与铅直线成偏角?时支承O的约束力．

解 复摆作定轴转动，根据达朗贝尔原理，在点O虚加切向惯性力

tFIR??maCt

和法向惯性力

nFIR??maCn

,,并沿?,,反向虚加矩为JO?的惯性力偶后，与真实作用在复摆上的主动力mg和约束力

,,,2aCt?b?，aCn?b?．FOx和FOy共同构成平面平衡力系，如图１３.２（a）所示．其中，于

是可写出动态平衡方程

?M?FxO(F)?0： ?mgbsin??JO?tn,,?0 （１）

?0： FOx?FIRcos??FIRsin??0

s?maCnsi?n?0 即 FOx?maCtco?,,,2s?mb?si?n?0 （２） 故 FOx?mb?co??Fy?0： FOy?mg?FIRsin??FIRcos??0

,,,2tnn?mb?即 FOy?mg?mb?si?由式（１）得

co?s?0 （３）

?对上式积分

,,??mgbJOsin???bg?2C?b2sin? （４）

?得

?,0?d???,,bg?C?b22???0sin?d?

?,2?2bg?C?b22(cos??cos?0) （５）

将式（４）和式（５）代入式（２）和式（３），最后求得支承O的约束力

FOx?b22?2C?bb2sin?(2cos?0?3cos?)mgFOy?mg??2C?b2[?sin??2cos?(cos??cos?0)]mg

2讨论

１．复摆的惯性力系还有如下两种简化方法：

（１）复摆的定轴转动也是刚体平面运动的特殊情况，因此，也可按平面运动刚体的类

t型虚加惯性力系，即在复摆的质心C上虚加切向惯性力FIR??maCt和法向惯性力n,,,,FIR??maCn，并在复摆上虚加与?反向的矩为JO?的惯性力偶，如图１３.２（b）所示．

（２）把图１３.２（a）中的惯性力和惯性力偶进一步合成为作用在图１３.２（c）点Htn的惯性力FIR??maCt和FIR??maCn，点H到点O的距离

OH?JO?FtIR,,?m(?C?b)?mb?,,22,,??Cb2?b

２．本例介绍了定轴转动刚体的惯性力系简化结果的３种方法，其中惯性力恒等于

FIR??maC

tn或 FIR?FIR?FIR?(?maCt)?(?maCn)

由于惯性力FIR的作用点不同，它可虚加在图１３.２中定点O，质心C或点H，相应的

,,,,惯性力偶矩分别为JO?，JC?或0，其旋向恒与角加速度?,,反向．