2020版高考数学二轮复习第1篇专题7解析几何第1讲小题考法__直线与圆的方程学案

(x－1)＋y＝1，即x＋y－2x＝0．

4．(2018·枣庄一模)已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为x＋(y－2)＝2．

解析 由题意，圆心在y＝－x＋2，设圆心为(a,2－a), 因为圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切， 则圆心到两直线的距离相等，即

|2a－2||2a＋2|

＝，解得a＝0，即圆22

2

2

2222

|2×0－2|22

心(0,2)，且r＝＝2，所以圆的方程x＋(y－2)＝2．

2

考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路

(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．

(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．

2．直线截圆所得弦长的求解方法

(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即l＝2r－d(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．

(2)根据公式：l＝1＋k|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．

(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解．

2

2

2

1．(2018·潍坊模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－2)＋(y－3)＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是( B )

2

2

?3?A．?－，0?

?4?

C．[－3，3]

B．?－

??33?，? 33?

?2?D．?－，0? ?3?

|2k|

解析 设圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为d， 则根据点到直线距离有d＝

k2＋1

，

由直线与圆相交弦长公式r＝d＋?

222

?|MN|?2，

??2?

所以|MN|＝2r－d＝2

2224k4－2，

k＋1

解不等式2所以k∈?－

4k12

4－2≥23得k≤，

k＋1333?

，?，故选择B． 33?

2

2

2

2

2

2

??

2．(2018·绵阳三诊)已知圆C1：x＋y＝r，圆C2：(x－a)＋(y－b)＝r(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：

①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0； ②2ax1＋2by1＝a＋b； ③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b． 其中正确结论的个数是( D ) A．0 C．2

2

2

2

2

B．1 D．3

2

2

解析 公共弦的方程为2ax＋2by－a－b＝0，所以有2ax1＋2by1－a－b＝0，②正确；又2ax2＋2by2－a－b＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确；AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点，又AB：2ax＋2by－a－b＝0，C1C2：bx－ay＝0. 由

2

2

2

2

??2ax＋2by－a－b＝0，?

?bx－ay＝0?

22

ax＝，??2得?by＝??2

2

故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确，综上，选

D．

3．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：x＋y－4x－6y＋12＝0交于M，N两→→

点．若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，则|MN|＝( A )

A．2 C．3

解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

圆C的方程可化为(x－2)＋(y－3)＝1，其圆心为(2,3)， 将y＝kx＋1代入方程x＋y－4x－6y＋12＝0， 整理得(1＋k)x－4(k＋1)x＋7＝0， 所以x1＋x2＝→

→

2

2

2

22

2

2

B．4 D．23

k＋

2

1＋k7

，x1x2＝2．

1＋kOM·ON＝x1x2＋y1y2

4k2

＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k由题设可得

＋k＋8， 2

1＋k＋k＋8＝12，得k＝1， 2

1＋k所以直线l的方程为y＝x＋1．

故圆心(2,3)恰在直线l上，所以|MN|＝2．

4．已知圆C：(x－3)＋(y－1)＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( D )

A．(0,2] C．[2,3]

B．[1,2] D．[1,3]

2

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解析 依题意，设点P(3＋cos θ，1＋sin θ)， →→

∵∠APB＝90°，∴AP·BP＝0，

∴(3＋cos θ＋t)(3＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)＝0， π??2

得t＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin?θ＋?，

3??π??2

∵sin?θ＋?∈[－1,1]，∴t∈[1,9]，

3??∵t＞0，∴t∈[1,3]．

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