高中排列组合知识点汇总及典型例题(全).

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

m列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An. 1.公式：1.Anm?n?n?1??n?2?……?n?m?1??n!?n?m?!

2.规定：0!?1

(1)n!?n?(n?1)!,(n?1)?n!?(n?1)!(2) n?n!?[(n?1)?1]?n!?(n?1)?n!?n!?(n?1)!?n!； (3)n?n?1?1?n?1?1?1?1

(n?1)!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

n?n?1?……?n?m?1?Amn! 1. 公式： C?n??m!m!?n?m?!Ammmn0规定：Cn?1

Cn?Cn，Cn?Cn2.组合数性质：mn?mmm?1m01n?Cn…?Cn?2n ?1，Cn?Cn?…

rrr?1rrrrr?1rrrr?1 注：Crr?Crr?1?Crr?2?CnCnCn?1?Cn?Cr?1?Cr?1?Cr?2??1?Cn?Cr?2?Cr?2??1?Cn?Cn?1若Cnm?Cnm则m1=m2或m1+m2?n 四．处理排列组合应用题

1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条

件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：

分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）相邻问题：捆邦法：

对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

（4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.

即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

（5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位

12①；②；③；④

置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；

（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）数字问题（组成无重复数字的整数）

① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；

③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: (3)．分组问题：

均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。

混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 (4)．分配问题：

定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，

注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

(5)．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题

例.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．

例.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即A66?A55?A55?A44?720?2?120?24?504 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

1(1) 甲排在最右端时,有A55种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有A4种

1114114排法，乙有A4种排法，其他人有A44种排法，共有A4种排法，分类相加得共有A55+A4=504A4A4A4A4种排法

例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？

4分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A7种排法.剩余的3个位置排女生，因要求

4“从矮到高”，只有1种排法，故共有A7·1=840种. 1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故

33不同的取法共有C93?C4?C5?70种,选.C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1

112台；故不同的取法有C52C4?C5C4?70台,选C.

2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法 分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题. 解：（1）先从男生中选2人，有C52种选法，再从女生中选2人，有C42种选法，所以共有C52C42=60（种）；

（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C22C72=21（种）； （3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：C94?C74=91

（种）；

直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数

131322332=91（种）. C1C7?C1C7?C2C7?C7?C7?C7（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数444=120（种）. C9?C5?C4132231直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为C5C4?C5C4?C5C4=120 练习

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )

A．40 B．50 C．60 D．70

C36

[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有2＝10种不同的分法，

A2

所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

26

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

2

[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A4＝72种排法，故选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )

A．6个 B．9个 C．18个 D．36个

[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝

22

3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A2×C3＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )

A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人

1

[解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC8－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )

A．45种 B．36种 C．28种 D．25种

[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )

A．24种 B．36种 C．38种 D．108种

[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步

12

将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C3A2种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的

1121

部门就已确定，故第三步共有C3种方法，由分步乘法计数原理共有2C3A2C3＝36(种)．

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )

A．33 B．34 C．35 D．36

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C2·A3＝12个；

33

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A3＋A3＝18个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个． 故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.

1

3

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )

A．72 B．96 C．108 D．144

12233

[解析] 分两类：若1与3相邻，有A22·C3A2A3＝72(个)，若1与3不相邻有A3·A3＝36(个) 故共有72＋36＝108个．

9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )

A．50种 B．60种 C．120种 D．210种

[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、

2

(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，按

2

照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A5＝120种，故选C.

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

5

[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A5＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

23

[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C5·C3＝1260(种)排法．

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

2C26C4

[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有2种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，

A22

C26·C44

共有A4种分法，故所有分配方案有：2·A44＝1 080种．

A2

13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．

14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中