2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题五 1 第1讲 直线与圆

③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．

解析：因为点(0，2)到直线系M：xcos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d＝

＝1，直线系M：xcos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)表示圆x2＋(y－2)2＝1的cos2θ＋sin2θ

1

切线的集合，

①由于直线系表示圆x2＋(y－2)2＝1的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；

②存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故②正确； ③由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故③正确；

④如图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，

其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以M中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相等，故④不正确．

答案：②③

14．(2019·南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y＝

3

(x＋1)上从左3

向右依次取点Ak，Bk(k＝1，2，…，其中A1是坐标原点)，使△AkBkAk＋1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是________．

解析：直线y＝

3

(x＋1)的倾斜角为30°，与x轴的交点为P(－1，0)，又△A1B1A2是等边3

三角形，所以∠PB1A2＝90°，所以等边△A1B1A2的边长为1，且A2B1∥A3B2∥…∥A10B9，A2B1与直线y＝

3

(x＋1)垂直，故△A2B1B2，△A3B2B3，△A4B3B4，…，△A10B9B10均为直角三角形，3

且依次得到A2B2＝2，A3B3＝4，A4B4＝8，A5B5＝16，A6B6＝32，A7B7＝64，A8B8＝128，A9B9＝256，A10B10＝512，故△A10B10A11的边长是512.

答案：512

15．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2.

－1－11

又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现

x1x22AC⊥BC的情况．

x211x2

(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x－)．

2222m

由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.

2

??联立?又x＋mx－2＝0，可得?1x1

y－＝x（x－），y＝－?2?2.2

2

2

2

2

2

mx＝－，2mx＝－，2

m1

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝

22故圆在y轴上截得的弦长为2弦长为定值．

16．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

m2＋9

. 2

mr2－（）2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的

2

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标．

解：(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.

①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y＝kx， 由|k＋2|

＝2，得k＝2±6；

1＋k2

所以此切线方程为y＝(2±6)x.

|－1＋2－a|②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x＋y－a＝0，由＝22，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.

所以此切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

综上，此切线方程为y＝(2＋6)x或y＝(2－6)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2，

222

即x21＋y1＝(x1＋1)＋(y1－2)－2，整理得2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝

0上，

当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，

此时直线PO⊥l，所以直线PO的方程为2x＋y＝0. 3

x＝－?10?2x＋y＝0

解方程组?，得，

32x－4y＋3＝0??y＝5

???

33－，?. 故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为??105?

17.(2019·杭州市高三期末考试)如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B(1，0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．

(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；

(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|. 证明：(1)设AE切圆于M，直线x＝4与x轴的交点为N， 则EM＝EB， 所以|EA|＋|EB|＝|AM|＝

AP2－PM2＝

AP2－PB2＝

AN2－BN2＝4为定值． (2)同理|FA|＋|FB|＝4，

x2y2

所以E，F均在椭圆＋＝1上，

43

3

设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)，令x＝4，yQ＝，

m直线与椭圆方程联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1＋y2＝ －

6m9

，y. 1y2＝－

3m2＋43m2＋4

因为E，B，F，Q在同一条直线上，

33所以|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|等价于－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，

mm3

所以2y1y2＝(y1＋y2)·，

m

6m9

代入y1＋y2＝－2，y1y2＝－2成立，

3m＋43m＋4所以|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|.

18．(2019·金华十校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存