高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案含解析新人教A版必修4

→→(1)BC＋AB； →→→(2)AO＋BC＋OB； →→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.

→→→→→

【解析】 (1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC. →→→→→→(2)AO＋BC＋OB＝AO＋OB＋BC →→→＝AB＋BC＝AC.

→→→→→→→→→→→→→→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋→

FA＝0.

先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解． 方法归纳

向量运算中化简的两种方法

(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．

(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．

跟踪训练2 化简： →→→(1)DB＋CD＋BC； →→→→(2)(AB＋MB)＋BO＋OM.

→→→→→→→→

解析：(1)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝BD＋DB＝0.

→→→→→→→→→→→

(2)方法一 (AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝AB. →→→→→→→→→→→→→

方法二 (AB＋MB)＋BO＋OM＝AB＋(MB＋BO)＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB＋0＝AB. →→→→→→→→→→→

方法三 (AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO＋OM)＋MB＝AM＋MB＝AB. 多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如

→→→→→→→→→→→→→→→→(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋→→

(b＋e)．

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类型三 向量加法的实际应用

例3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．现有一艘船从长江南岸

A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.

(1)试用向量表示水速、船速及船实际航行的速度；

(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与水速之间的夹角表示，精确到度)．

→→

【解析】 (1)如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，→

则AC表示船实际航行的速度．

→→→22(2)在Rt△ABC中，|AB|＝2，|BC|＝5，所以|AC|＝2＋5＝29≈5.4. 因为tan∠CAB＝2.5，由计算器得∠CAB≈68°，

所以船实际航行速度的大小约为5.4 km/h，方向与水速间的夹角约为68°.

→→

AD表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，AB表示水流速度，以AD，AB为邻边作?ABCD，→

则AC就是船的实际航行速度．

跟踪训练3 本例中若该船从A点出发以23 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h，求水速大小．

→2→2→2→22

解析：由题意，|AB|＋|AD|＝|AC|，故|AB|＋(23)＝4，解得|AB|＝2，故水速大

2

→

小为2 km/h.

→

结合例题中的图形，由勾股定理得|AB|.

2.2.1-2.1

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[基础巩固](25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

→→→

1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB等于( ) →→A.AB B.BC →→C.CD D.DA

→→→→→→

解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB＝AC＋CB＝AB.故选A.

答案：A

2．下列等式错误的是( ) A．a＋0＝0＋a＝a →→→B.AB＋BC＋AC＝0 →→C.AB＋BA＝0

→→→→→D.CA＋AC＝MN＋NP＋PM

→→→→→→

解析：AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC≠0，故B错． 答案：B

3．设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示( ) A．向东走10 km B．向南走10 km C．向东南走10 km D．向东南走52 km 解析：

→→→→

如图所示，AC＝a＋b，|AB|＝5，|BC|＝5，且AB⊥BC，则|AC|＝52，∠BAC＝45°. 答案：D

4．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( ) A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反 C．与向量b方向相同 D．不确定

解析：如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．

答案：A

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→→

5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝( ) →→A.OH B.OG →→C.FO D.EO

→→

解析：设a＝OP＋OQ，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝→OP＋→OQ，由a和→FO长度相等，方向相同，得a＝→FO，即→OP＋→OQ＝→

FO.

答案：C

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．在△ABC中，→AB＝a，→BC＝b，→

CA＝c，则a＋b＋c＝________.

解析：由向量加法的三角形法则，得→AB＋→BC＝→AC，即a＋b＋c＝→AB＋→BC＋→

CA＝0. 答案：0

7．化简(→AB＋→MB)＋(→BO＋→BC)＋→

OM＝________.

解析：原式＝(→AB＋→BO)＋(→OM＋→MB)＋→BC＝→AO＋→OB＋→BC＝→AB＋→BC＝→

AC. 答案：→AC

8．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|→AB|＝1，则|→BC＋→

CD|＝________. 解析：在菱形ABCD中，连接BD， ∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形， 又∵|→AB|＝1，∴|→BD|＝1，|→BC＋→CD|＝|→

BD|＝1. 答案：1

三、解答题(每小题10分，共20分) 9．如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.

解析：(1)作→OA＝a，→AB＝b，则→

OB＝a＋b，如图(1)； (2)作→OA＝a，→AB＝b，则→

OB＝a＋b，如图(2)； (3)作→OA＝a，→AB＝b，则→

OB＝a＋b，如图(3)．

10.

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