高中数学第二章平面向量25平面向量应用举例教学案人教

第1课时 平面向量数量积的物理背景及其含义

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题． 观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考： (1)如何计算力F所做的功？ 提示：W＝|F||s|cos_θ.

(2)力F在位移方向上的分力是多少？ 提示：|F|cos_θ.

(3)力做功的大小与哪些量有关？

提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 2．归纳总结，核心必记 (1)向量的数量积的定义

已知条件 定义 记法 规定 (2)向量的数量积的几何意义 ①投影的概念：

(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ． (ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ． ②数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积． (3)向量数量积的性质

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． ①a⊥b?a·b＝0．

②当a与b同向时，a·b＝|a||b|， 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．

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向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ 数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积) a·b＝|a||b|cos_θ 零向量与任一向量的数量积为0 ③a·a＝|a|或|a|＝a·a＝a. ④cos θ＝

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a·b. |a||b|

⑤|a·b|≤|a||b|. (4)向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)．

②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

[问题思考]

(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？

提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．

向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量． (2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？

提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.

②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|． (3)a⊥b与a·b＝0等价吗？

提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价． (4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？ 提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0， ∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°. (5)a·b中的“·”能省略不写吗？

提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘． (6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？

提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．

[课前反思]

(1)向量数量积的定义：； (2)向量数量积的几何意义：； (3)向量数量积的性质： ；

(4)向量数量积的运算律： .

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[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？

名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ． [思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？ 名师指津：求平面向量数量积的步骤为： (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)求|a|和|b|；

(3)代入公式求a·b的值． 讲一讲

1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．

(2)设正三角形ABC的边长为2，

求a·b＋b·c＋c·a.

[尝试解答] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a＋b)·(a－2b)＝a－a·b－2b＝16－(－4)－2×4＝12.

(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°， ∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos 120°×3＝－3.

向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 练一练

1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：

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[思考] 如何求向量的模|a|? 提示：|a|＝a·a． 讲一讲

2．(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________． (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，则|b|＝________． [尝试解答] (1)因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1， 所以|a－3b|＝（a－3b）＝a－6a·b＋9b ＝1＋9×1＝10. (2)因为|2a＋b|＝10， 所以(2a＋b)＝10， 所以4a＋4a·b＋b＝10，

又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×1＋4×1×|b|×

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2

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＋|b|＝10， 2

整理得|b|＋22|b|－6＝0， 解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)． 答案：(1)10 (2)2

向量模的常见求法

在求向量的模时，直接运用公式|a|＝a·a，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝（a±b）＝a±2a·b＋b.

练一练

π

2．(1)已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为，则|a|＝________；

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