学而思初二数学寒假班第1讲.一元二次方程认识初步.提高班.教师版

模块四 因式分解法解一元二次方程

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定 义 因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若ab?0，则a?0或b?0； 因式分解法的一般步骤： ⑴ 将方程化为一元二次方程的一般形式； ⑵ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0； ⑶ 令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方 程的两个根． 总结： 1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．

2．将方程右边变形为0，左边化为(ax?b)(cx?d)?0的形式． 3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑． 4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号． ．．注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式

2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案

解方程：x2?x?0 解：x?x?1??0 则x?0或x?1?0 ∴x?0或x?1 示例剖析 能力提升

【例12】 用因式分解法解方程：

⑴ x2?3x； ⑵ 2x2?23x?0；

2⑶ ?x?1??2?x?1??0； ⑷ 3?x?2??4x?2x2

⑸ ?x?1??2?x?1???1 ⑹ 4?x?3???x?2??0

【解析】 ⑴ x?x?3??0，∴x1?0，x2?3．

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⑵ x?2x?23?0，∴x1?0，x2?6．

?⑶ ?x?1??x?1??0，∴x1?1，x2??1．

3⑷ 3?x?2???2x?x?2?，?2x?3??x?2??0，∴x1??，x2?2．

22⑸ ?x?2??0，∴x1?x2?2．

⑹ ??2?x?3???x?2??????2?x?3???x?2????0，?3x?4??x?8??0，

4∴x1??，x2??8．

3

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思维拓展训练（选讲）

训练1. 已知方程2xa?xb?x2?4?0是关于x的一元二次方程，求a、b的值．

【解析】 当??a?1?b?1，方程化为?x2?x?4?0；

当??a?1?b?2，方程化为?2x2?2x?4?0； 当??a?2?b?1，方程化为x2?x?4?0； 当??a?2?b?2，方程化为4?0，故不符题意．

综上可得，??a?1?a?1?a?2?b?1；??b?2；??b?1．

3训练2. 已知a是一元二次方程x2?3x?1?0的一个根，求代数式

?a?1??a2?1a?1的值．

【解析】 ∵a是一元二次方程x2?3x?1?0的一个根，∴a2?3a?1?0 ∴原式??a?1????a?1?2?a?1??a?1?a2?3a??1．

训练3. 用配方法解下列方程：

训练4. ⑴ 2x2?3x?1；⑵ 3x2?2?4x；⑶ ?x?3??x?6???8 2【解析】⑴ x2?32x?1?3?17?3?17?3?172，??x?4???16，∴x1?4，x2?4； 2⑵ x2?42?102?1023x?23，???x?3??10??9，∴x1?3，x2?3； 2⑶ x2?3x?10，???x?3?2???494，∴x1?5，x2??2．

训练5. 已知关于x的方程3x2?2ax?a2?0的一个根为1，求它的另一根． 【解析】由题意，3?2a?a2?0，即a2?2a?3?0，∴a?3或?1．

当a?3时，方程化为3x2?6x?9?0，即x2?2x?3?0，则另一根为?3；

当a??1时，方程化为3x2?2x?1?0，则另一根为?13．

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实战演练

知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练

【练习1】 ⑴ 已知x?2是一元二次方程x2?mx?2?0的一个解，则m的值是___________． 【练习2】 ⑵ 若方程2kx2?x?k?k2?0有一个根是0，则k的值是____________．

1【练习3】 ⑶ 如果x?是关于x的方程2x2?3ax?2a?0的根，那么关于y的方程y2?3?a的

2根是________________．

【练习4】 ⑷ 已知?3是关于x的方程x2?2x?3a?1?0的一个根，则3a?1的值是

_____________．

⑸ 已知方程x2?bx?a?0有一个根是?a?a?0?，则a?b的值是_________________．

【解析】 ⑴?3； ⑵ 0或1； ⑶ ?2 ⑷ 15

⑸ 将x??a代入方程中得 a2?ab?a?0，∵ a≠0，∴ a?b?1?0

∴a?b??1

知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练

【练习5】 ⑴已知一元二次方程ax2?bx?c?0的一个根为1，且a、b满足等式

1 b?a?2?2?a?3，求方程y2?c?0的根．

4 ⑵用直接开平方法解方程：

22 ① 2?x?3??4?0 ② 4?x?1??k 【解析】⑴由题意可知a?b?c?0，a?2，b??3，∴c?1，

1 ∴y2?1?0，∴y1?2，y2??2．

4⑵ ① x1?2?3，x2??2?3

②当k?0时，x1??1?kk； ，x2??1?22

当k?0时，x1?x2??1； 当k?0时，方程无实数根.

知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练

【练习6】 用配方法解方程：

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