学而思初二数学寒假班第1讲.一元二次方程认识初步.提高班.教师版

a2+1⑶已知a是x?2009x+1=0的根，求a?2008a?的值．

200922【解析】 ⑴m??3；3；

易错点：容易忽略当其是一次方程时一次项系数不为零 ⑵∵m是方程x2?x?1?0的一个根，∴m2?m?1?0

⑶?1．结合一元二次方程根的定义，采用整体思想求解

a是x2-2009x+1=0的根，?a2-2009a+1=0，

5m2?5m?2008?5?m2?m?1??2013?2013．

a2+1?a-2008a-2009 2009a?a2-2009a+a?2009

??1

2模块二 直接开平方法解一元二次方程

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定 义 直接开平方法：对于形如x2?m或?ax?b??m2示例剖析 m≥0?的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含?a?0，有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解． ?x?1?2?1 x?1?1或x?1??1 x1?0，x2??2 夯实基础

【例6】 用直接开平方法解关于x的方程： 【例7】 ⑴ ?3x?2??3x?2??12； ⑵ 【例8】 ⑶ ?x?m?2?6； 32?n； ⑷ ?2x?1??b?4c

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44【解析】 ⑴ x1?，x2??；⑵ x1?1，x2?7；

33【解析】 ⑶ 当n≥0时，x1?m?n，x2?m?n；当n?0时，无实数根． 【解析】 ⑷ 当b?4c≥0时，2x?1??b?4c，∴x1?【解析】 当b?4c?0时，无实数根． 【解析】

【解析】 注意：1.方程的两边应同时开方

【解析】 2.开方后，方程的一边应有正负号，即有相等和互为相反数两种情况。 【解析】 总结：直接开平方法：形如(x?a)2?b（b≥0）的方程可用直接开平方法解，两边

直接开平方得x?a?b或x?a??b，∴x1??a?b，x2??a?b． 1．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件b≥0．若b?0， 则方程(x?a)2?b无实数根．

2．在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解．

1?b?4c1?b?4c，x2?；

22能力提升

【例9】 解关于x的方程：

⑴ ?2x?3???3x?2?；⑵ ?5?2x??9?x?3?； ⑶ 4?2x?5??9?3x?1?．

【解析】 ⑴ 2x?3?3x?2或2x?3???3x?2?，解得x1?1，x2??1．

4⑵ 5?2x?3?x?3?或5?2x??3?x?3?，解得x1??，x2??14．

57⑶ 2?2x?5??3?3x?1?或2?2x?5???3?3x?1?，解得x1??，x2?1．

52【点评】 如果方程能化成x2?p或?mx?n??p?p≥0?的形式，那么可得x??p或

mx?n??p.

222222

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模块三 配方法解一元二次方程

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定 义 配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如?ax?b??m的方程，再运用直接开平方的2实例剖析 ⑴x2?2x?0 ⑵x2+2x??1 x2?2x?1?0?1 x2+2x+1=0 22?x?1??1 ?x+1?=0 x?1??1 x1=x2??1 x?1?1或x?1??1 x1?0，x2??2 方法求解． 总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x?m)2?n的形式； ④求解：若n≥0时，方程的解为x??m?n，若n?0时，方程无实数解

配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成(x?m)2?n（n≥0）的形式，再用直接开平方法求解，当n?0时，方程无实数解． ．．．（1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．

（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．

夯实基础

【例10】 用配方法解方程：

11⑴ x2?4x?2?0； ⑵ x2?x??0； ⑶ 3y2?1?23y；

6321⑷ x2?x?2 ⑸ x2+x+5=0

332【解析】 ⑴x2?4x?4?2?0，?x?2??2，x?2?2或x?2??2，即x1?2?2，

x2??2?2．

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11?491112?1?1?1??x2?x???????，⑵ x2?x?，即?x???，所以x1?， x2??．

612312121446323??????222?3??123231?3?3?⑶ y??，， y，y2?y?????y?????3???3?????033333??????3∴y1?y2?．

322221?4911113?⑷ x?x?3，x2?x??3?，?x???，∴x1??2，x2?．

4?16221616?222⑸ 无实根（或无实数根），注意：不能说无解！

【点评】要熟练掌握配方法的一般步骤，四个题都是配方法的思想，区分度在于出现分数和根式

的结合．

能力提升

【例11】 用配方法解关于x的方程

⑴ x2?px?q?0（p，； q为已知常数）

⑵ ax2?bx?c?0（a、b、c为常数且a?0）

p2?4qpp2p2p2p2?4q2【解析】 ⑴(x?)?q?∴当p?4q≥0时，x??? ?0；(x?)?222424?p?p2?4q?p?p2?4q，x2?即x1?；当p2?4q?0时，原方程无实数根．

22bc⑵ 因为a?0，方程两边同除以a，得x2?x??0

aab2b2?4acbc2移项，得x?x??，配方(x?)?

2a4a2aa因为a?0，所以4a2?0，当b2?4ac≥0时，直接开平方得：bb2?4acb2?4acx?????， 2a4a22|a|b2?4ac又因为式子前面已有符号“?”，所以无论a?0还是a?0，最终结果总是?

2a?b?b2?4ac即x?；当b2?4ac?0时，原方程无实数解．

2a【点评】由上面研究的结果，得到了一元二次方程ax2?bx?c?0的求根公式： ?b?b2?4ac(b2?4ac≥0) x?2a

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