罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

三次方程最多有3个实根，从而结论成立。

★★★9.证明：方程

x5?x?1?0只有一个正根。

知识点：零点定理和罗尔定理的应用。

思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来

讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。

5解：令f(x)?x?x?1，∵f(x)在[0,1]上连续，且f(1)?1?0，f(0)??1?0，

∴由零点定理，至少有一点ξ假设x则

5?(0,1)，使得f(ξ)?ξ5?ξ?1?0；

?x?1?0有两个正根，分别设为ξ1、ξ2（ξ1?ξ2），

f(x)在在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，且f(ξ1)?f(ξ2)?0，

?(ξ1,ξ2)，使得f?(ξ)?5ξ4?1?0，这不可能。

从而由罗尔定理，至少有一点ξ∴方程x5?x?1?0只有一个正根。

f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，

★★10.不用求出函数

并指出它们所在的区间。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。

解： ∵f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)在[1,2]、[2,3]、[3,4]上连续，

在(1,2)、(2,3)、(3,4)内可导，且∴由罗尔中值定理，至少有一点ξ1使得

f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0，

?(1,2)、ξ2?(2,3)、ξ3?(3,4)，

f?(ξ1)?f?(ξ2)?f?(ξ3)?0，即方程f?(x)?0至少有三个实根，

又方程∴

f?(x)?0为三次方程，至多有三个实根，

f?(x)?0有3个实根，分别为ξ1?(1,2)、ξ2?(2,3)、ξ3?(3,4)。

★★★11.证明下列不等式：

（1）

arctana?arctanb?a?b ； （2） 当 x?1时，ex?ex ；

11。 ?0，证明ln(1?x)?x； （4） 当x?0时，ln(1?)?x1?xf(b)?f(a)b?a（3） 设 x知识点：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数y?f(x)，通过式子f?(ξ)?（或

f(b)?f(a)?f?(ξ)(b?a)）证明的不等式。

证明：（1）令f(x)?arctanx， ∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得

arctana?arctanb?f?(ξ)(b?a)?1b?a?b?a21?ξ。

（2）令

f(x)?ex(x?1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，

x∴由拉格朗日中值定理，得e∵1?ξ（3）令

?e ?eξ(x?1)，

?x，∴ex?e?eξ(x?1)?e(x?1)?ex?e，从而当 x?1时，ex?ex。

f(x)?ln(1?x)(x?0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，

x)?ln(1?x)?ln(1?0)?f?(ξ)(x?0)?1x， 1?ξ∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?∵0?ξ?x，∴

1x?x，即x?0， ln(1?x)?x。 1?ξ（4）令

f(x)?lnx(x?0)，∵f(x)在[x,1?x]上连续，在(x,1?x)内可导，

11)?ln(1?x)?lnx?f?(ξ)(1?0)?， xξ。

∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?∵x?ξ?1?x，∴

1111?，即当x?0时，ln(1?)?ξ1?xx1?x★★12.证明等式：2arctanx?arcsin2x?π(x?1).

1?x2知识点：f?(x)?0?f(x)?C（C为常数）。

思路：证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数，只要证f?(x)?0

2x(x?1)，

1?x2当x?1时，有2arctan1?arcsin1?π；当x?1时，有

证明：令f(x)?2arctanx?arcsin2f?(x)??21?x12(1?x2)?2x?2x212?2x2 ????22222(1?x)1?x1?x(1?x)2x21?()1?x2；

22?(?)?0，∴f(x)?C?f(1)??1?x21?x22x∴2arctanx?arcsin?π(x?1)成立。 21?x?★★★13.证明：若函数

f(x)在(-?,??)内满足关系式f?(x)?f(x)，且f(0)?1，则f(x)?ex。

知识点：f?(x)?0?f(x)?C 思路：因为 f(x)?e?ex?xf(x)?1，所以当设F(x)?e?xf(x)时，只要证F?(x)?0即可 f(x)，

证明：构造辅助函数F(x)?e则F?(x)?x?e?xf?(x)?e?xf(x)?0；

?x∴F(x)?e∴

f(x)?C?F(0)?1

f(x)?ex。

★★★14.设函数

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有

f(a)?f(b)?0,f(c)?0(a?c?b) ，

试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使f??(ξ)?0。

知识点：拉格朗日中值定理的应用。 思路：关于导函数f(n)(ξ)在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析

各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。

证明：∵ f(x)在[a,c]、[c,b]上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，至少有一点ξ1使得又

?(a,c)、ξ2?(c,b)，

f?(ξ2)?f(c)?f(b)f(a)?f(c)?0，f?(ξ1)??0；

c?ba?cf?(x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，从而至少有一点ξ?(ξ1,ξ2)， f??(ξ)?f?(ξ2)?f?(ξ1)?0。

ξ2?ξ1f(b?)/A,试证明f(x)在

使得

★★★15.设

?f(x)在[a,b]上可微，且f??(a)?0,f??(b)?0,f(a)(a,b)内至少有两个零点。

知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在[a,b]上有三个零点，即可

以利用罗尔中值定理，得出结论。

证明：∵f??(a)?lim?f(x)?f(a)?0，由极限的保号性知，

x?ax?ab-af(x)?f(a)???(a,δ1)（不妨设δ1?），对于?x???(a,δ1)，均有?0，

2x?a???(a,δ1)，使得

f(x1)?f(a)?0，∴得f(x1)?f(a)?A；

x1?af(x2)?f(b)b-a?0， ），使得

x2?b2特别地，?x1同理，由

f??(b)?0,得?x2???(b,δ2)（δ2?从而得又∵∵

f(x2)?f(b)?A；

f(x)在[x1,x2]上连续，∴由介值定理知，至少有一点ξ?(x1,x2)使得f(ξ)?A；

f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导，且f(a)?f(ξ)?f(b)?A，

?(a,ξ)、ξ2?(ξ,b)，使得f?(ξ1)?f?(ξ2)?0，结论成立。

∴由罗尔中值定理知，至少有一点ξ1★★★16.设

f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0，试证明存在唯一的c,a?c?b，使得

f?(c)?f(b)?f(a)。

b?a知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。

思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的

单调性得出结论。

证明：存在性。

∵

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点c?(a,b)，使得

f?(c)?f(b)?f(a)。

b?af(b)?f(a)，

b?a唯一性的证明如下：

方法一：利用反证法。假设另外存在一点d?(a,b)，使得f?(d)?又∵

f?(x)在[c,d]（或[d,c]）上连续，在(c,d)（或(d,c)）内可导，

?(c,d)?(a,b)（或ξ?(d,c)?(a,b)），使得f??(ξ)?0，

∴由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ这与

f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0矛盾。从而结论成立。

方法二：∵f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0，∴f?(x)在[a,b]单调递增，

从而存在存在唯一的c?(a,b)，使得

★★★17.设函数

f?(c)?f(b)?f(a)。结论成立。

b?ay?f(x)在x?0的某个邻域内具有n阶导数，且