(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第十二章 概率_随机变量及其分布 12.2 古典概型教师用书 理 苏教版

a．若xy≤3，则奖励玩具一个； b．若xy≥8，则奖励水杯一个； c．其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． ①求小亮获得玩具的概率；

②请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，

y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n＝16. ①记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的基本事件共5个， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 55

所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为. 1616②记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C. 则事件B包含的基本事件共6个，

即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 63

所以P(B)＝＝.

168

事件C包含的基本事件共5个，

即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 535

所以P(C)＝.因为＞，

16816

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 引申探究

1．本例(1)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．

解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 42所以P(A)＝＝. 63

2．本例(1)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件数为C4C4＝16， 颜色相同的事件数为C2C1＋C2C2＝6， 63

所求概率为＝. 168

思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．

(1)(2016·全国乙卷改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选

2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________． 2答案 3

解析 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，4

((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝＝62. 3

(2)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

11

11

11

参加演讲社团 未参加演讲社团

参加书法社团 8 2 未参加书法社团 5 30 ①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．

解 ①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，

故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，

151

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.

453②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有 {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}， {A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}， {A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}， {A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，

{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个． 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的， 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有 {A1，B2}，{A1，B3}，共2个．

2

因此，A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.

15题型三 古典概型与统计的综合应用

例3 (2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.

(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所

1

抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝.

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思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区

进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区 数量 A 50 B 150 C 100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 61

＝，

50＋150＋10050

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 111

50×＝1,150×＝3,100×＝2.

505050

所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为

A；B1，B2，B3；C1，C2.

则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，

C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，

B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．

4所以P(D)＝，

15

4

即这2件商品来自相同地区的概率为.

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六审细节更完善