北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题(解析版)

（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为，按照价格从低到高排列，列举得出基本事件的总数列，利用古典概型及其概率的公式，即可求解；

（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列，即可得到结论. 【详解】（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格分别为： 2500，2500，2500，2450，2460

按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500 B市5个销售点小麦价格的中位数为2500. （Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为 B市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500 C市一共有4个销售点，价格分别为： 2580，2470，2540，2400

按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580 甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：

（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400）， （2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）， （2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540）， （2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580）， 一共有20组.

其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：

（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400）， （2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组. 所以，甲的费用比乙高的概率为：. （Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B.

【点睛】本题主要考查了中位数的概念，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法，列举出基本事件的总数，利用古典概型的概率公式计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

18.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，

AB=2，AA1=3．

（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE； （Ⅱ）求证：BD⊥A1C； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1 【解析】 【分析】

（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，先证明OE∥A1C，再证明A1C∥平面BDE；（Ⅱ）先证明BD⊥平面ACC1A1，再证明BD⊥A1C；（Ⅲ）由【详解】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，

利用体积变换求三棱锥A-BDE的体积．

在△ACA1中，∵O，E分别为AC，AA1 的中点，∴OE∥A1C， ∵A1C?平面BDE，OE?平面BDE， ∴A1C∥平面BDE；

（Ⅱ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴AA1⊥BD， ∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD， ∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵A1C?平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；

（Ⅲ）解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1 的中点，且AA1=3， ∴AE=，即三棱锥E-ABD的高为． 由底面正方形的边长为2，得∴． ．

【点睛】本题主要考查空间几何元素平行垂直关系的证明，考查空间几何体的体积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19.已知函数，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间．

【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-【解析】 【分析】 （Ⅰ）当程；（II）当时，求出函数时，令，利用导数的几何意义求出，得，处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方，②当，③当），单调递增区间为（-∞，-1），（-，+∞）

，分三种情况①，讨论的单调区间．

．

【详解】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，

所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0． （Ⅱ）f′（x）=aex（x+1）-x-1=（x+1）（aex-1）． （1）当a≤0时，aex-1＜0，

所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）． （2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna． ①当-lna=-1，即a=e时，f′（x）≥0，

所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；

②当-lna＜-1，即a＞e时，

当-lna＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-lna或x＞-1时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-∞，-lna），（-1，+∞）； ③当-lna＞-1，即0＜a＜e时，

当-1＜x＜-lna时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-lna时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna，∞）．

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程

20.已知点B（0，-2）和椭圆M：（Ⅰ）求椭圆M的离心率； （Ⅱ）若，求△PBQ的面积；

．直线l：y=kx+1与椭圆M交于不同两点P，Q．

（Ⅲ）设直线PB与椭圆M的另一个交点为C，当C为PB中点时，求k的值． 【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）直接求出a和c,求出离心率；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理求出，再求（Ⅱ）4（Ⅲ） 或 △PBQ的面积；（Ⅲ）设点C（x3，y3），由题得，再求出或，即得k的

值.

22【详解】解：（Ⅰ）因为a=4，b=2，所以，

所以离心率．

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 若，则直线l的方程为，