华师大版八年级数学下册第17章函数及其图象【创新教案】函数(1)

【问题2】

如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足S??r2，请完成下表： 半径r（cm） 圆面积 S（cm2） 1 π 1.5 2 2.6 3.2 … （1）圆的半径越大，它的面积就 。

（2）任意给半径r一个确定值，对应的圆面积S的取值是唯一确定的吗？ 答： 半径r（cm） 圆面积 S（cm2） 1 π 1.5 2.25π 2 4π 2.6 6.76π 3.2 10.24π … … （1）圆的半径越大，它的面积就 越大 。

（2）任意给半径r一个确定值，对应的圆面积S的取值是唯一确定的。 设计思路：研究完生活中的变量关系，进一步体会数学公式中存在的两个变量关系，先填写表格，计算当取定一个半径r的值时，所对应的圆面积的值，初步体会圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积与半径之间存在唯一对应的关系。

同学们想一想：

你还能找到哪些数学公式也符合两个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化？

比如：正方形面积S?a2，正方形周长C?4a，三角形面积

1?ah(a为常数)…… △2设计思路：从每个不同的角度启发学生挖掘身边熟悉的素材，再一次从数学公式S的角度理解两个变量之间存在的关系，一个量变了，另一个量也在跟着变化，深化学生头脑中两个变量的印象，为下面函数关系概念的出现做好铺垫工作。

【问题3】

汽车以600米/分的速度在公路上匀速行驶.

（1）汽车行驶2分钟后，汽车行驶的路程是 米；若行驶5分钟、20分钟呢？

（2）汽车行驶x分钟后，则汽车行驶的路程是y米，则y= . （3）当时间x取定一个确定的值时，对应的路程y的取值是否唯一确定？ 答：

（1）汽车行驶2分钟后，汽车行驶的路程是 1200 米；若行驶5分钟，汽车行驶路程是3000米，若行驶20分钟，汽车行驶路程是12000米。 （2）汽车行驶x分钟后，则汽车行驶的路程是y米，则y= 600x . （3）当时间x取定一个确定的值时，对应的路程y的取值是唯一确定的。 设计思路：行程问题是学生在学习过程中经常遇到、耳熟能详的实例，速度不变，时间变化了，路程就跟着变化，这个问题的呈现形式是填空求值，以及写解析式，可以从数量关系的角度启发学生还有大量的实例可以表示两个变量之间的关系，进一步感受一个量变了，另一个量也跟着变化。

同学们想一想：

你还知道哪些数量关系符合两个量之间的关系，一个量变了，另一个量也跟着变化？

比如：单价不变，数量越多，总价越多，总价随数量的变化而变化。

工作效率不变，时间越多，工作总量越多，工作总量随时间的变化而变化。设计思路：到这个问题时，学生头脑中已经积攒了大量的两个变量的实例，对于一个量变了，另一个量也跟着变化有了很深的印象，再找一些数学关系的实例，加深理解，也为下面马上引出的函数概念做好最后的铺垫工作。

函数概念生成：

以上这些问题中我们都在尝试用一个量确定另一个量，他们都刻画了某些变化规律，这里也出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量，以气温问题为例，时间的变化引起温度的变化，当时间取定一个值时，所得T的对应值只有一个（可能是“一对一”，也可能是“多对一”），即通过时间t,能把温度T“唯一确定”.

反之，当T=0时，所得t的值为8点和21点两个时刻（“多对一”），通过温度T，不能把时间t “唯一确定”.

在这个问题中，我们把温度T称为时间t的函数． （但时间t不是温度T的函数，因为通过温度T， 不能把时间t “唯一确定”.）

如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每 一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是 自变量， y是因变量 。

此时也称y是x的函数。

设计思路：上面这三个问题中都含有变量之间的单值对应关系，通过研究这些问题引出函数概念，通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程，如何把具体的实例进行抽象，形式化为数学知识是本课的关键．这里提出的问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？”是一个关键的“脚手架”，通过“脚手架”引领学生经历数学概念的形成过程，引导学生认识为什么要引进变量、常量、函数的概念，逐步了解如何给数学概念下定义．

巩固概念：

指出前面几个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量、自变量与函数. 1.“小蕾体重问题”中，

（1)涉及到的量有 ，其中的变量是 ； （2）________是自变量，________是因变量， 是 的函数. 2.“圆的面积问题”中，

（1)涉及到的量有 ，其中的变量是 ，常量是____；

（2）____________是自变量，________是因变量， 是 的函数.

3. “行程问题”中，

（1)涉及到的量有 ，其中的变量是 ，常量是____；

（2）____________是自变量，________是因变量， 是 的函数. 注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化.在第三个问题中，引导学生将行程问．．．．．．题中的三个量进行挖掘分析，当时间不变时，路程是速度的函数，路程不变时，时间是速度的函数或速度是时间的函数；若三个量都变化，则不存在函数关系。

设计思路：用熟悉的事例进一步巩固常量、变量、自变量、因变量、函数的概念。再一次体会函数中的唯一对应。并根据实际情况适当指出并不是所有的函数关系都能写出解析式。

辨析：

y?x2 y是x的函数吗？

x y

1 1 -1 1 2 4 -2 4 … … 答：y是x的函数。 y2?x y是x的函数吗？

x y 思考：

1 ±1 4 ±2 9 ±3 16 ±4 … … 答：y不是x的函数。 下列各图中，表示y是x的函数的有_________________（可以多选）.

设计思路：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x的任意一个值就有唯一确定的y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）. 函数三种表示方法：

前面问题的形式有填空、列表、求值、写解析式、读图等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法.这几种表示方法各有什么优缺点呢？

解析法：两个变量关系清晰可见，但是没有具体的取值，需要计算。

列表法：每个自变量对应的因变量很清楚，但是列举的是有限项，不能列举所有的项，也不能清楚表示出变量之间的关系。

图像法：可以清晰的看出每个量的变化趋势，但具体的取值不是很明显。 设计思路：根据班级实际授课情况，启发学生感受函数的三种表示方法各有优缺点，鼓励启发学生自己去发现，自己总结概括，培养学生自主思考、善于总结的