第六章 不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4-5)

39

∴当a＝－时，?3－a??a＋6?有最大值. 22

3．(2013·福建高考)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0,2] C．[－2，＋∞)

B．[－2,0] D．(－∞，－2]

1＋＋

解析：选D ∵2x＋2y≥22x·2y＝22xy(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2xy≤，∴

21＋

2xy≤，得x＋y≤－2.

4

4.?创新题?已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值为________．

解析：由已知a4a14＝(22)2＝8. 再由等比数列的性质有a4a14＝a7a11＝8. 又∵a7>0，a11>0， ∴2a7＋a11≥22a7a11＝8. 当且仅当2a7＝a11时等号成立． 答案：8

11

5．(2014·济南模拟)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值

mn为________．

111?1＋1?＝1?2＋n＋m?≥2，当且仅当m解析：由已知得m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)·?mn?2?mn?mn2＝n＝1时取等号．

答案：2

p

6．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实

x－1数p的值为________．

解析：由题意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋

p

＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时取等号，x－1

9

因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p＋1＝4，解得p＝. 4

9答案：

4

[课下提升考能]

第Ⅰ组：全员必做题

1．下列不等式一定成立的是( ) 1

A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0)

4

1

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

sin xC．x2＋1≥2|x|(x∈R) 1

D.2＞1(x∈R) x＋1

113

x2＋?＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除解析：选C 取x＝，则lg?4??221

B；取x＝0，则2＝1，故排除D.

x＋1

2．(2014·宁波模拟)若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) 1A. 2C．2

B．1 D．4

1

解析：选A ∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤.当且仅当a＝1，

21

b＝时等号成立． 2

3．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是( ) A．0 C．2

解析：选B ∵a>1，b>1. ∴lg a>0，lg b>0.

?lg a＋lg b?2?lg ab?2lg a·lg b≤＝＝1.

44当且仅当a＝b＝10时取等号． x2＋2

4．函数y＝(x>1)的最小值是( )

x－1A．23＋2 C．23

解析：选A ∵x>1，∴x－1>0.

x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋2?x－1?＋3∴y＝＝＝ x－1x－1x－1?x－1?2＋2?x－1?＋33＝＝x－1＋＋2

x－1x－1≥2

3

?x－1??x－1?＋2＝23＋2.

B．23－2 D．2 B．1 5D. 2

??

3

当且仅当x－1＝，即x＝1＋3时，取等号．

x－1