高中数学第二章概率22条件概率与事件的独立性222事件的独立性课堂探究新人教B版2-3.

2.2.2 事件的独立性

课堂探究

探究一 相互独立事件的判断 判定相互独立事件的方法：

(1)若P(A∩B)＝P(A)×P(B)，则A，B相互独立，即如果A，B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得出事件A，B为相互独立事件．

(2)在实际问题中，判断事件的独立性往往凭经验或借助直观的方法，而不需要通过

P(A∩B)＝P(A)×P(B)验证．如有放回的两次抽奖，掷5次同一枚硬币，两人射击等，由事

件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出是否相互独立．但对条件较复杂的情形，如甲、乙是地球上两个不同点，“甲地地震”与“乙地地震”就不能轻易判定为相互独立，因为它们可能存在某种内在联系，对这类事件的独立性，需要依据公式P(A∩B)＝

P(A)×P(B)来判断．

【典型例题1】 判断下列各对事件是不是相互独立事件：

(1)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．

思路分析：由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组；(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立．

解：(1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．

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(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从

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剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后

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一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不

7是相互独立事件．

(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．

探究二 求相互独立事件的概率

1

解决相互独立事件同时发生的概率问题，首先应确定各事件之间是相互独立的，确定这些事件可以同时发生，其次求出每个事件发生的概率，最后根据相互独立事件的概率计算公式求解．

【典型例题2】 高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：

(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？

思路分析：先明确已知事件间的关系，再把所求事件的概率表示成已知事件的概率，最后选择公式计算．

解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，

C两两相互独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.

(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C表示，

P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)

＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.

(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(ABC)∪(ABC)∪(ABC)表示． 由于事件ABC，ABC和ABC两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(AB C)

＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)·P(C)

＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]

＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. 探究三 易错辨析

易错点：不能正确区分相互独立事件与互斥事件而致误

【典型例题3】 设甲、乙两名射手独立地对同一目标进行射击，各射击一次，他们击中目标的概率分别为0.9,0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率．

错解：设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，甲、乙两人中至少有一人击中目标为事件C.因为C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.7.

错因分析：因为甲、乙两名射手独立射击同一目标，所以事件A与B是两个独立事件．错解中运用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是误认为A，B是两个互斥事件．

正解一：设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，甲、乙两人中至少有一人击中

2

目标为事件C.因为A，B是相互独立事件，所以A与B，A与B也是相互独立事件，所以

P(C)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.9×(1－

0.8)＋(1－0.9)×0.8＋0.9×0.8＝0.98.

正解二：P(C)＝1－P(C)＝1－P(AB)＝1－P(A)·P(B)＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.1×0.2＝0.98.

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