2020版人教A版数学选修4-4同步配套练习题：第一讲+坐标系+1.4+Word版含解析

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四 柱坐标系与球坐标系简介

课时过关·能力提升

基础巩固

1已知点P的柱坐标为(16,3,5),则其直角坐标为( ) A.(5,8,8√3)B.(8,8√3,5)

C.(8√3,8,5)D.(4,8√3,5)

解析设点P的直角坐标为(x,y,z).∵ρ=16,θ=3,??=5,∴??=??cos θ=8,y=ρsin θ=8√3,??=5,

故点P的直角坐标是(8,8√3,5). 答案B 2已知点P的柱坐标为(2,4,3),若在空间直角坐标系中,点??在??????平面上的射

影为??,则点??的柱坐标为( )

A.(2,0,3) B.(2,4,0) C.(√2,4,3)

π

D.(√2,,0)

4答案B 3在球坐标系中,方程r=2(0≤??≤2,0≤??<2π)表示( ) A.圆

B.半圆

C.球面 D.半球面

解析由空间点的球坐标的定义可知,

方程r=2(0≤??≤2,0≤??<2π)表示半球面. 答案D 4已知点M的柱坐标为(4,

7π6

π

π

ππ

π

π

π

,1),则它的直角坐标为 .

解析设点M的直角坐标为(x,y,z).

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∵ρ=4,θ=

7π6

,??=1,

∴x=ρcos θ=4cos7π6

=?2√3,

y=ρsin θ=4sin

7π6

=?2.

故点M的直角坐标为(-2√3,?2,1). 答案(-2√3,?2,1)

5若点M的柱坐标为(7,π

2,7),点??的球坐标为(??,??,??),则??= . 解析∵(ρ,θ,z)=(7,π

2,7), 设点M的直角坐标为(x,y,z), 则x2+y2=ρ2=49,

∴r=√??2+??2+??2=√49+72=7√2. 答案7√2

6已知空间点P的柱坐标为(6,π

3,4),则点??关于??轴的对称点的柱坐标为 答案(6,4π3,4) 7把下列用柱坐标表示的点用直角坐标表示出来. (1)(2,0,-2);(2)(π,π,π).

解设点的直角坐标为(x,y,z).

??=2cos0=2,

(1)∵(ρ,θ,z)=(2,0,-2),∴{??=2sin0=0,

??=-2,故(2,0,-2)为所求点的直角坐标. ??=πcos π=-π,

(2)∵(ρ,θ,z)=(π,π,π),∴{??=πsin π=0,??=π,

故(-π,0,π)为所求点的直角坐标.

8把下列用球坐标表示的点用直角坐标表示出来. (1)(2,ππ

6,3);(2)(2,π4,

7π

4

).

解设点的直角坐标为(x,y,z). (1)∵(r,φ,θ)=(2,ππ

6,3),

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ππ1

??=??sin??cos??=2sincos=,

632

∴??=??sin??sin??=2sinπsinπ=√3, 632π

{??=??cos??=2cos6=√3.

故(2,

1√3,√3)为所求点的直角坐标. 2

π7π

4

(2)∵(r,φ,θ)=(2,4,

),

π7π

=1, ??=??sin??cos??=2sincos

44

π7π

∴??=??sin??sin??=2sinsin=-1, 44π

{??=??cos??=2cos4=√2.故(1,-1,√2)为所求点的直角坐标.

9已知点P的柱坐标为(√2,4,5),点??的球坐标为(√6,3,6),求这两个点的直角坐标. 解设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=√2cos4=√2×所以点P的直角坐标为(1,1,5). 设点B的直角坐标为(x1,y1,z1), 则x1=√6sin3cos6=√6×y1=√6sin3sin6=√6×z1=√6cos3=√6×2=

π

1

π

π

√32

π

π

√321

π

√22

π

ππ

=1,??=√2sin4=1,??=5.

π

×

√32

=

3√6, 4

×2=

3√2, 4

√6. 2

3√63√2√6,4,2). 4

所以点B的直角坐标为(

10结晶体的基本单位称为晶胞,食盐晶胞的示意图如图①所示(可看成是八个棱长为

1

的小正方体堆积成的正方体),图形中的点代表钠原子.如图②所示,2

建立空间直角坐标系?????????后,试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.

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图①

图②

解下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(√2,2,4),(1,2,2),(2,2,4);它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(√2,4,0),(1,2,0),(2,4,0).

π

π

√2π

π

ππ

ππ

√2ππ

能力提升

1已知点M的直角坐标为(√3,1,?2),则它的球坐标为( ) A.(2√2,

3ππ4

,6)B.(2√2,4,6)

3ππ4

ππ

C.(2√2,4,3)D.(2√2,

ππ

,3)

√2, ??=2√3=??sin??cos??,3π

解析设M的球坐标为(r,φ,θ),则{1=??sin??sin??,解得??=4,

π-2=??cos??,??=.{6答案A 2已知点M的球坐标为(4,4,4),则点??到????轴的距离为( ) A.2√2B.√2C.2D.4

解析设点M的直角坐标为(x,y,z), ∵(r,φ,θ)=(4,4,4),

ππ

??=??sin??cos??=4sincos=2, 44 ππ

∴??=??sin??sin??=4sinsin=2,

44

??=??cos??=4cosπ=2√2,{4∴M(2,2,2√2).

ππ

ππ

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