2020高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.1.1 合情推理学案 新人教A版选修1-2

2020

【导学号：48662048】

图2-1-3

[解析] (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.

(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝2－3,5＝2－3,13＝2－3,29＝2－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为2－3＝509.

[答案] (1)5n＋1 (2)509

[规律方法] 归纳推理在图形中的应用策略 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是： 9

2

3

4

5

[跟踪训练] 3．如图2-1-4所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：

图2-1-4

通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根． 16 3n＋1 [数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]

4．根据如图2-1-5的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈．

(1) (2) (3) (4) (5)

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图2-1-5

[解] 法一：图(1)中的圆圈数为1－0，图(2)中的圆圈数为2－1，图(3)中的圆圈数为3－2，图(4)中的圆圈数为4－3，图(5)中的圆圈数为5－4，…，

故猜测第n个图形中的圆圈数为n－(n－1)＝n－n＋1.

法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；

第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……

由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n－n＋1)个圆圈．

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类比推理及其应用 三角形与四面体有下列相似性质： (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．

(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．

通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]

1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？ 提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．

1

2．三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？

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提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的.

3

(1)在等差数列{an}中，对任意的正整数n，有

数列{bn}中，有________．

(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A-BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系，并给予必要证明．

思路探究 (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．

(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S△ABC＝

2

2

a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1

＝an.类比这一性质，在正项等比

2n－1

S△OBC·S△DBC.

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[解] (1)由a1＋a2＋…＋a2n－1类比成b1·b2·b3…b2n－1，除以2n－1，即商类比成开2n－1次方，即在正项等比数列{bn}中，有

2n－1

b1·b2·b3…b2n－1＝bn.

2

(2)△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为S△ABC＝S△OBC·S△DBC. 证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E， ∵AD⊥平面ABE， ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC. ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AED， ∴BC⊥AE，BC⊥DE. 1

∴S△ABC＝BC·AE，

2

S△BOC＝BC·OE, S△BCD＝BC·DE.

在Rt△ADE中，由射影定理知AE＝OE·DE，∴S△ABC＝S△BOC·S△BCD.

母题探究：1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a＝b·cos C＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． 2

2

1212

[解] 如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ. 2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立”．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由． [解] 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝12＋1AE21ABAC2＋1AD2. 下面证明上述猜想成立

2020 如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD, AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴∴ [规律方法] 类比推理的一般步骤 1＝1＋1＋11AE12＝＝11ABAC2＋＋11AF2AD2. . AF22AE2AB2AC2AD2，故猜想正确． [当 堂 达 标·固 双 基] 底×高

1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为( )

2

【导学号：48662049】

A．

2C．

2

r2

B．

2D．无法确定

l2

lrC [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.]

22．观察如图2-1-6所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

lr

图2-1-6

A.

B. C. D.