2020年高考数学(文)一轮复习专题2.5 二次函数与幂函数(讲)(解析版)

y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧， 因此B项不正确，只有选项A满足.

【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【变式3】（2019·河北唐山一中模拟）设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( ) A.f(m＋1)≥0 C.f(m＋1)>0 【答案】C

1

【解析】因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示.

2由f(m)<0，得－1

所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.

B.f(m＋1)≤0 D.f(m＋1)<0

考点四 二次函数的单调性

【典例4】 （2019·浙江绍兴一中模拟）已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是( )

A．[－3,0) C．[－2,0] 【答案】D

【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 3－a当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，

2a

a＜0，??

由f(x)在[－1，＋∞)上递减知?3－a解得－3≤a＜0.

??2a≤－1，综上，a的取值范围为[－3,0]．

B．(－∞，－3] D．[－3,0]

【方法技巧】研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论。

【变式4】（2019·河北保定一中模拟）函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )

A．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)>f(cx) 【答案】A

【解析】 由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，则bx＝2x，cx

＝3x.易知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)，即f(bx)≤f(cx)．故选A.

考点五 二次函数的最值问题

【典例5】（2019·河北唐山一中模拟） 若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[1,2]上有最大值4，则a的值为________．

3【答案】

8

【解析】f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.

①当a＝0时，函数f(x)在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；

3

②当a>0时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；

8

③当a＜0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．

3

综上可知，a的值为.

8

【方法技巧】研究二次函数的最值问题．对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”。

【变式5】（2019·长春市实验中学模拟）已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当1

－2，－?时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为( ) x∈?2??

1A. 33C. 4

【答案】D

1B. 2D．1 B．f(bx)≥f(cx)

D．与x有关，不确定

【解析】设x＜0，则－x>0.

有f(－x)＝(－x－1)2＝(x＋1)2，又∵f(－x)＝f(x)， ∴当x＜0时，f(x)＝(x＋1)2，

1

－2，－?上的最大值为1，最小值为0， ∴该函数在?2??依题意，n≤f(x)≤m恒成立，

则n≤0，m≥1，即m－n≥1，故m－n的最小值为1. 考点六 二次函数中的恒成立问题

【典例6】（2019·北京101中学模拟） 已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．

【答案】(－∞，－1)

【解析】f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m， 即x2－3x＋1－m>0， 令g(x)＝x2－3x＋1－m，

要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，

只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得m＜－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 【方法技巧】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

【变式6】（2019·东北育才中学模拟）已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是( )

A.[－2，2] C.[2，3] 【答案】B

【解析】由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，

B.[1，2] D.[1，2]

又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以，t≥1. 则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1， f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，

要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2， 只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤2. 又t≥1，∴1≤t≤2.