2020年高考数学（文）一轮复习专题2.5 二次函数与幂函数（讲）（解析版）

专题2.5 二次函数与幂函数

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1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝的图象，了解它们的变化情况；

x2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象

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(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 图象(抛物线) 定义域 R

y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 ?4ac－b，＋∞? ?4a?bx＝－ 2a2?－∞，4ac－b? 4a??2?－b，4ac－b? 4a??2a当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 b－∞，－?上是减函数； 在?2a??b－，＋∞?上是增函数 在??2a?b－∞，－?上是增函数； 在?2a??b－，＋∞?上是减函数 在??2a?2单调性 【特别提醒】

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

?a>0，?a<0，??

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当?时恒有f(x)>0，当?时，恒有f(x)<0.

?Δ<0?Δ<0??

考点一 幂函数的图象与性质

【典例1】 （2019·宁夏银川一中模拟）幂函数y＝x

m2-2m-3 (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )

A．－1 C．1 【答案】C

【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．

【方法技巧】(1)幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．

(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

B．0 D．2

11??

【变式1】(2018·上海卷)已知α∈?－2，－1，－2，2，1，2，3?.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，

??＋∞)上递减，则α＝______.

【答案】－1

【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取α＝－1.

考点二 求二次函数的解析式

【典例2】（2019·广东中山纪念中学模拟） 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．

【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.

【解析】法一：(利用二次函数的一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1，

??a－b＋c＝－1，

由题意得?

4ac－b??4a＝8，

2

a＝－4，??

解得?b＝4，

??c＝7.

故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

2＋?－1?1

∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.

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∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，

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x－?2＋8. ∴y＝f(x)＝a??2?1

2－?2＋8＝－1，解得a＝－4， ∵f(2)＝－1，∴a??2?1

x－?2＋8＝－4x2＋4x＋7. ∴f(x)＝－4??2?法三：(利用二次函数的零点式)

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，

4a?－2a－1?－a2即＝8.

4a解得a＝－4或a＝0(舍去)，

故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【方法技巧】求二次函数解析式的策略 （1）已知三点坐标，选用一般式

（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式 （3）已知与x轴两点坐标，选用零点式

【变式2】（2019·湖北襄樊五中模拟）已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．

【答案】f(x)＝x2－4x＋3.

【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， ∴f(x)的对称轴为x＝2.

又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3.

设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3.

考点三 二次函数的图象及应用

【例3】（2019·江西九江一中模拟）对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )

【答案】A

【解析】若0

若a>1，则y＝loga x在(0，＋∞)上是增函数，