历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第二试试题

while 114234 doesn’t . Let a n be the number of such n – digit integers . Which in the following expressions holds for all n∈N is（ ）

（A）a n + 2 = 2 a n + 1 + 6 a n （B）a n + 1 = 4 a n + 3 （C）a n + 1 = 3 a n + 3 n （D）a n + 1 = 4 a n – 1 （英汉小字典：integer整数；consist of由?组成；digit 数字） 10、若实数a > 0满足a 5 – a 3 + a = 2，则（ ）

（A）a <63 （B）62< a <63 （C）63< a <32 （D）a >32 二、填空题：（每小题6分，共60分） 11、某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

今制定开发计划使总产值最高，则A类产品安排 件，最高产值为 万元。 12、已知tan θ =3ban – 1

A类 B类 每件需人员数 1/2 1/3 每件产值（万元/件） 7.5 6 ，a，b∈R，θ∈( 0，

+

?2)，则

acos?+

bsin?= 。

?213、关于θ的函数y = cos 2 θ – 2 a cos θ + 4 a – 3，当θ∈[ 0，围是 。

]时恒大于0，则实数a的取值范

14、一个四棱柱的一个对角面面积为S，与该对角面相对的两侧棱间的距离为d，两对角面构成的二面角是60°，则四棱柱的体积V = ____ 。 15、已知数列{ a n }的通项公式是a n =2?1，b n =的前n项和S n = 。

16、已知a是正常数且a ≠ 1，则方程a x + a – x + 1 = 3 cos 2 y的解是 。 17、复数z满足等式z +z? | z | 3 = 0，则z = 。

18、Assume that in the sequence { a n } there are a 1 =, a n = – S n S n – 1 ( n ≥ 2 ) where S n is the sum

31n2nan?an?1（= 1，2，3，? ），则数列{ b n }

of the first n terms . Then the formula for general term of { a n } is ． （英汉小字典：sequence数列；sum 和；term项）

19、定圆C的圆心的坐标为( 0，1 )，半径为1，动圆P与x轴相切且平分圆C的周长，则动圆P的圆心的轨迹方程是 。

20、已知x2?y2+(x?8)2?(y?6)2= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 。

答案：一、C、A、C、C、C、D、C、D、 、C；

二、11、20，330；12、(3a2?3b2)3；13、( 4 – 22，+ ∞ )；14、34S d；15、2n?1?1– 1；

?x?0116、?；17、0，± i；18、a = –；19、 ；20、100 + 253，n??(n?1)(n?2)?y?k?? (k?Z)?2100 – 253。

简解：3、AB = 1，AE =

32，EG =34，AG =74；

2

2

5、原不等式可化为( x + y ) ( x – y ) ( x y + 1 ) ( x y – 1 ) ≥ 0，及x ≠ 0，y ≠ 0，且x + y ≤ 100，在坐标系内可表示为图中的八个部分：

⑴ x < 0，y < 0，x < y，x y > 1，⑵ x < 0，y < 0，x > y，x y < 1，

⑶ x < 0，y > 0，x + y < 0，x y < – 1，⑷ x < 0，y > 0，x + y > 0，x y > – 1， ⑸ x > 0，y > 0，x > y，x y > 1，⑹ x > 0，y > 0，x < y，x y < 1，

⑺ x > 0，y < 0，x + y < 0，x y > – 1，⑻ x > 0，y < 0，x + y > 0，x y < – 1；，

y46A35FCGEQ1O728xBP第3题图D第5题图

yD?1AEO1CBxyPAOQD3 x ? 4 y = 100Bx第7题图第20题图

7、图中| z – w |可表示为射线OA上的点与圆C上的点间的距离，则其最小值为圆C上的点到射

线OD：x – y = 0（x < 0）的距离，即ED = CD – CE =322– 1；20、( x，y ) 满足条件在直角坐

标平面内对应的图形是图中的以O，A( 8，6 )为焦点的椭圆，且c = 5，a = 10，则b = 53，而| 3 x – 4 y – 100 |可表示为椭圆上的点到直线3 x – 4 y – 100 = 0的距离的5倍，设椭圆的中心为B，则B( 4，3 ) ，BD = 20，PB = QB = 53，故最大值为5 PD = 5 ( 20 + 53) = 100 + 253，最小值为5 QD = 5 ( 20 – 53) = 100 – 253； 三、解答题

21、图中由左向右的六个点：1，2，3，4，5，6的坐标对应数列{ a n，n∈N }的前12项： a 1 x 1 a 2 y 1 a 3 x 2 a 4 y 2 a 5 x 3 a 6 y 3 a 7 x 4 a 8 y 4 a 9 x 5 a 10 a 11 y 5 x 6 a 12 y 6 （1）求a 2001，a 2000，a 1998； （2）求a n。

解：（1）a 2001 = 1001， a 2000 = – 500，a 1998 = 500；

(n?2k?1)?k（2）a n =?) ?k (n?4k?2。

??k(n?4k)?y4321124635?1?2?3?4Ox22、求三次函数y = x 3 – 3 x 2 + 2 x + 1在区间( 0，1 )上的最大值和取得此最大值时自变量x的值。 解：由y' = 3 x – 6 x+ 2 = 0，得x= 1 ±2

33，而y' | 0 = 2，y' | 1 = – 1，

y当x = 1 –33时，此函数取得最大值为

239+ 1。

PAO1B423、已知曲线C上任意一点到定点A( 1，0 )与定直线x = 4的距离之和等于5。对于给定的点B( b，0 )，在曲线上恰有三对不同的点关于点B对称，求b的取值范围。

解：设动点M( x，y )，则(x?1)2?y2+ | x – 4 | = 5， 得y 2 = 4 x（0 ≤ x ≤ 4）或y 2 = – 16 x + 80（4 ≤ x ≤ 5），

xQ第23题图?y12?4x1?2y2??16x2?80设P( x 1，y 1 )，Q( x 2，y 2 )关于点B对称，且0 < x 1 < 4，4 < x 2 < 5，则有?，??y1?y2?0?x?x?2b?12可得到x 2 =

20?2b3，∴ 4 <

20?2b3< 5，∴

52< b < 4。

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试

2000年4月21日 上午8：30—10：30

一、选择题（每小题6分，共60分）

1、设x，y满足arccos ( y – 2 ) = arcsin ( x – 1 )，则3 x + y的取值范围是（ ） （A）[ 5 –10，5 +10] （B）[ 5 –10，6 ] （C）[ 6，8 ] （D）[ 6，5 +10] 2、方程x + x + 1 = 0和x +5x+ 1 = 0的实根分别为α和β，则α + β等于（ ） （A）– 1 （B）–

sin2x2?sinx25

12 （C）

12 （D）1

3、函数y = log12的值域是（ ）

1211212（A）( – ∞，log 2 6 ]（B）( –

21log 2 6，log 2 6 ]（C）[ –

2log 2 6，+ ∞ )（D）[log 2 6，+ ∞ )

4、四面体ABCD的各面都是锐角三角形，且AB = CD = a，AC = BD = b，AD = BC = c，平面π分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（ ） （A）2 a （B）2 b （C）2 c （D）a + b + c

5、从空间一点引三条不共面的射线，则以每条射线为棱的三个二面角的和的取值范围是（ ） （A）( 180°，270° ) （B）( 180°，360° ) （C）( 180°，540° ) （D）( 270°，540° ) 6、已知椭圆

xa22+

y222a= 1上有三点P i ( x i，y i )（i = 1，2，3 ），它们到同一个焦点的距离分别

是d 1，d 2，d 3，则d 1，d 2，d 3成等差数列的充要条件是（ ） （A）x 1，x 2，x 3成等差数列 （B）y 1，y 2，y 3成等差数列 （C）上述(A)、(B)同时成立 （D）(A)、(B)以外的条件

7、若不等式a+b≤ m4a2?b2对所有正实数a，b都成立，则m的最小值是（ ）

33（A）2 （B）22 （C）24 （D）4