考点26 随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系、统计案例

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考点26 随机抽样、用样本估计总体、

变量间的相关关系、统计案例

1．（2010·陕西高考文科·Ｔ4）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB,样本标准差分别为sA和sB,则（ ）

(A) xA＞xB，sA＞sB (B) xA＜xB，sA＞sB (C) xA＞xB，sA＜sB (D) xA＜xB，sA＜sB 【命题立意】本题考查样本平均数、标准差的概念的灵活应用，属保分题. 【思路点拨】直接观察图像易得结论，不用具体的运算.

【规范解答】选B 由图易得xA＜xB，又A波动性大，B波动性小，所以sA＞sB.

【方法技巧】统计内容有抽样方法、样本特征数（均值、方差，直方图等）、回归分析、预测（应用）等，弄清基本概念，原理，计算方法等．

2．（2010·山东高考理科·Ｔ6）样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ） (A) 66 (B) (C) 2 (D)2 55【命题立意】本题考查用样本的平均数、方差,考查了考生的运算求解能力. 【思路点拨】先由平均值求出a，再利用方差的计算公式求解.

【规范解答】选D,由题意知（a+0+1+2+3)=1,解得a=-1,所以样本方差为

151S2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,故选D.

53. （2010·山东高考文科·Ｔ6）在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：

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90 89 90 95 93 94 93

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为

（A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8 【命题立意】本题考查样本数据的平均值和方差的概念及运算，考查了考生的运算求解能力. 【思路点拨】根据平均值和方差的公式直接计算即可，应注意去掉一个最高分和一个最低分后再计算. 【规范解答】选B.去掉一个最高分95一个最低分89，剩下5个数的平均值为

11(90?90?93?94?93)?92，方差为[(90?92)2?(90?92)2?(93?92)2?(94?92)2?(93?92)2]?2.8. 554. （2010·福建高考文科·Ｔ9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )

(A)91.5和91.5 (B)91.5和92 (C)91和91.5 (D)92和92 【命题立意】本题考查中位数与平均数的求解.

【思路点拨】把数据从小到大排列后可得其中位数，平均数是把所有的数据加起来除以数据的个数. 【规范解答】选A，数据从小到大排列后可得其中位数为

91?92?91.5，平均数为287?89?90?91?92?93?94?96?91.5.

8【方法技巧】给出实际数据求解中位数和平均数等数据特征相对较为容易，但是同学也要理解“众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系”，会用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数.

1. 众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；

2. 中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.

3. 平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

5.（2010·广东高考理科·Ｔ7）已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P (2 ≤X ≤4)=0.6826， 则P（X>4）=( )

(A)0.1588 (B)0.1587 (C)0.1586 (D)0.1585

【命题立意】本题考察随机变量的正态分布的意义.

【思路点拨】由已知条件先求出P(X?2或X?4)，再求出P(X?4)的值. 【规范解答】选B.?P(X?2或X?4)?1?P(2?X?4)?1?0.6826?0.3174

?

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6. （2010·湖南高考文科·Ｔ3） 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）

(A)y??10x?200 (B)y?10x?200 (C)y??10x?200 (D)y?10x?200

【命题立意】以朴素的题材为背景，让学生感受线性回归的意义，变量之间的变化趋势. 【思路点拨】负相关说明斜率为负，而价格为0时，销量不能为负.

【规范解答】选A.∵商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，∴a<0，排除B，D.又∵x=0时，y>0 排除C.

【方法技巧】回归问题主要研究变量之间的相关性，变化趋势，分为正相关和负相关，线性相关不是研究变量之间的确定性，而是相关性，即有关联.求斜率和截距常用给定的公式. 7．（2010·江苏高考·Ｔ4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_____________根棉花纤维的长度小于20mm.

【命题立意】本题考查频率分布直方图及其相关知识. 【思路点拨】频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，小矩形的面积为相应数据所占的频率.

【规范解答】由频率分布直方图观察得，棉花纤维的长度小于20mm的根数为 100×（0.01+0.01+0.04）×5=30. 【答案】30

【方法技巧】对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中发现有用的信息和数据.对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积之和为1，当有两个小矩形的高相等时，说明数据落在这两个区间上的频率相等，在进行计算时，不能漏掉其中的任何一个.

^^^^8．（2010·浙江高考文科·Ｔ11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 .

甲

8

9 1 2 5 7 8 5

6

乙 2 3 4 5 6

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9 4 5 8 2 6 3 5 7

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【命题立意】本题主要考察了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力，属容易题. 【思路点拨】把甲、乙两组数据从小到大排序后，找位于中间的数或中间两数的平均数. 【规范解答】甲位于中间的数是45，把乙的数据排序后，位于中间的数是46. 【答案】45，46

9．（2010·福建高考文科·Ｔ１4）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 . 【命题立意】本题考查频率分布直方图中频数与频率的关系. 【思路点拨】频率之比即为频数之比，按比例设六组的频数，可解. 【规范解答】设第一组到第六组的频数分别为2a,3a,4a,6a,4a,a，

?2a?3a?4a?27,?a?3,?2a?3a?4a?6a?4a?a?20a?60.

【答案】60

10.（2010·北京高考理科·Ｔ11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a＝ .若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参 加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 .

【命题立意】本题考查频率颁布直方图，抽样方法中的分层抽样.熟练掌握频率颁布直方图的性质，分层抽样的原理是解决本题的关键.

【思路点拨】利用各矩形的面积之和为1可解出a.分层抽样时，选算出身高在[140 ，150]内的学生在三组学生中所占比例，再从18人中抽取相应比例的人数.

【规范解答】各矩形的面积和为：0.005?10?0.035?10?a?10?0.020?10?0.010?10?1，解得

a?0.030.身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数分别为：30,20,10，人

数的比为3：2：1，因此从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为18?【答案】0.030 3

11.（2010·广东高考文科·Ｔ12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：

1=3人. 6

根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 _________线性相关关系.

【命题立意】本题考察统计中基本特征量的意义以及变量间的关系. 【思路点拨】按大小排列出收入数据的顺序，找出中间的那个数据.

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