高中数学《平面向量应用举例》教案9 新人教A版必修4

第六教时

教材：平面向量基本定理

目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量

分解为两个向量。

过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。

2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到：

1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？

2．对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ ——提出课题：平面向量基本定理

三、新授：1．(P105-106)e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量

?e1 a MC

O N B ?OA=e1 OM=λ1e1 OC=a=OM+ON=λ1e1+λ2e2

e2

OB=e2 ON=λ2e2

得平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

注意几个问题：1? e1、e2必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2? 这个定理也叫共面向量定理

3?λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

2．例一( P106例三)已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2。

作法：1? 取点O，作OA=?2.5e1 OB=3e2 2? 作 OACB，OC即为所求+

???e2 CB?O ?例二、(P106例4)如图 ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，

e1N A ??用a，b表示MA，MB，MC和MD

解：在 ABCD中

CD b A M a B?? ∵AC=AB+AD=a+b ?? DB=AB?AD=a?b

∴

MA=?12AC=?1??1?1?2(a+b)=?2a?2b

MB=12DB=12(a??b?)=12a??12b? MC=12AC=12a?+1?2b

MD=?MB=?11?1?2DB=?2a+2b

例三、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点， 求证：OA+OB+OC+OD=4OE 证：∵E是对角线AC和BD的交点 D C ∴AE=EC=?CE O BE=ED=?DE

E A B 在△OAE中 OA+AE=OE

同理：OB+BE=OE OC+CE=OE OD+DE=OE 以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE

例四、(P107 例五)如图，OA，OB不共线，AP=tAB (t?R)用OA,OB表示OP 解：∵AP=tAB ∴P OP=OA+AP=OA+ tAB

B =O A OAt(OB?OA)

=OAtOB?tOA

=(1?t)

OA+

+

+

tOB

四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不

共线向量的线性组合。

五、作业： 课本 P107 练习 P108 习题5.3 3-7