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2019年
(三)函数与导数(1)
32
1．(2018·江南十校模拟)设f(x)＝xln x－ax＋(3a－1)x.
2(1)若g(x)＝f′(x)在[1,2]上单调，求a的取值范围； (2)已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 解 (1)由f′(x)＝ln x－3ax＋3a， 即g(x)＝ln x－3ax＋3a，x∈(0，＋∞)，
g′(x)＝－3a，
x①g(x)在[1,2]上单调递增， 1
∴－3a≥0对x∈[1,2]恒成立，
1
x1
即a≤对x∈[1,2]恒成立，
3x1得a≤；
6
②g(x)在[1,2]上单调递减， 1
∴－3a≤0对x∈[1,2]恒成立，
x1
即a≥对x∈[1,2]恒成立，
3x1得a≥，
3
1??1??由①②可得a的取值范围为?－∞，?∪?，＋∞?. 6??3??(2)由(1)知，
①当a≤0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意； 11
②当0
33a1??又f′(x)在?0，?上单调递增， ?3a?
1??∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈?1，?时，f′(x)>0， ?3a?
2019年
1??∴f(x)在(0,1)上单调递减，在?1，?上单调递增， ?3a?
f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意；
11
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)上单调递增，
33a在(1，＋∞)上单调递减，
∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意； 11
④当a>时，0<<1，
33a当x∈?
?1，1?时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
??3a?
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴f(x)在x＝1处取得极大值，不符合题意． 1??综上所述，可得a的取值范围为?－∞，?. 3??
2．(2018·河南省郑州外国语学校调研)已知函数f(x)＝aln x－e. (1)讨论f(x)的极值点的个数；
(2)若a∈N，且f(x)<0恒成立，求a的最大值． 参考数据：
*
xx e ln x
x1.6 4.953 0.470 1.7 5.474 0.531 1.8 6.050 0.588 axa－xex解 (1)根据题意可得f′(x)＝－e＝(x>0)，
xx当a≤0时，f′(x)<0，函数是减函数，无极值点； 当a>0时，令f′(x)＝0得a－xe＝0，即xe＝a， 又y＝xe在(0，＋∞)上是增函数， 且当x→＋∞时，xe→＋∞，
所以xe＝a在(0，＋∞)上存在一解，不妨设为x0， 所以函数y＝f(x)在(0，x0)上单调递增， 在(x0，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝f(x)有一个极大值点，无极小值点． 综上，当a≤0时，无极值点；
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，无极小值点． (2)因为a∈N >0，
由(1)知，f(x)有极大值f(x0)，
*
xxxxx 2019年
且x0满足x0ex0＝a，①
可知f(x)max＝f(x0)＝aln x0－ex0， 要使f(x)<0恒成立， 即f(x0)＝aln x0－ex0<0，② 由①可得ex0＝， 代入②得aln x0－<0， 1??即a?ln x0－?<0，
ax0
ax0
?x0?
1*
因为a∈N>0，所以ln x0－<0，
x0
11
因为ln 1.7－<0，ln 1.8－>0，
1.71.81
且y＝ln x0－在(0，＋∞)上是增函数．
x0
1
设m为y＝ln x0－的零点，
x0
则m∈(1.7,1.8)，可知0 当0 ln x0e 令g(x)＝，x∈(1，m)， ln x1?x?e?ln x－?x?? 则g′(x)＝<0， 2 lnx所以g(x)在(1，m)上是减函数， ee且≈10.29，≈10.31， ln 1.8ln 1.7所以10.29 3．(2018·厦门质检)设函数f(x)＝xln x－ax＋(b－1)x，g(x)＝e－ex. (1)当b＝0时，函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围； (2)若y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，且函数h(x)＝f(x)＋g(x)在x∈(1，＋∞)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a的取值范围． 解 (1)当b＝0时，f(x)＝xln x－ax－x， 2 2 *1.8 1.7 ex0 xx 2019年 f′(x)＝ln x－2ax， ∴f(x)＝xln x－ax－x有2个极值点就是方程ln x－2ax＝0有2个解， ln x即y＝2a与m(x)＝的图象的交点有2个． 2 x1－ln x∵m′(x)＝， 2x当x∈(0，e)时，m′(x)>0，m(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减． m(x)有极大值， 又∵x∈(0,1]时，m(x)≤0； 1当x∈(1，＋∞)时，0 e当a∈? 1e ?1，＋∞?时，y＝2a与m(x)＝ln x的图象的交点有0个； ?x?2e? 1ln x当a∈(－∞，0]或a＝时，y＝2a与m(x)＝的图象的交点有1个； 2ex1?ln x?当a∈?0，?时，y＝2a与m(x)＝的图象的交点有2个． x?2e?1??综上，a的取值范围为?0，?. ?2e? (2)函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， ∴f′(1)＝0且f(1)≠0， ∵f′(x)＝ln x－2ax＋b， ∴b＝2a且a≠1. h(x)＝xln x－ax2＋(b－1)x＋ex－ex在x∈(1，＋∞)时， 其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角， 即当x>1时，h′(x)＝f′(x)＋g′(x)>0恒成立， 即ln x＋e－2ax＋2a－e>0恒成立， 令t(x)＝ln x＋e－2ax＋2a－e， 1x∴t′(x)＝＋e－2a， xxx1x1x设φ(x)＝＋e－2a，φ′(x)＝e－2， xx1x∵x>1，∴e>e，2<1， x∴φ′(x)>0， ∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增， 搜索更多关于： (全国通用版)2020高考数学二轮复习 压轴大题突破练(三) 的文档
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