乘法公式的复习（题型扩展）

例2. 计算：??8x??y??y???4x??2??4?

简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也

成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为

y??2?4x???4?，则可利用乘法公式。

y??y? 解：原式?2??4x???4x??

?4??4?2?2?y???2??4x??????4?????

2y2?32x?8

三. 先分项，再用公式

例3. 计算：?2x?3y?2??2x?3y?6?

简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与?2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。 解：原式=?(2x?4)?(2?3y)???2x?4???2?3y??

四. 先整体展开，再用公式 例4. 计算：(a?2b)(a?2b?1)

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即?(a?2b)?1?，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。 解：原式?(a?2b)?(a?2b)?1?

五. 先补项，再用公式

例5. 计算：3?(38?1)(34?1)(32?1)(3?1)

简析：由观察整式(3?1)，不难发现，若先补上一项(3?1)，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。 解：原式?3?(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)2842?(2x?4)??2?3y?222

2?4x?16x?12?12y?9y?(a?2b)(a?2b)?(a?2b)?a?4b?a?2b22

9

?3??3?(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)2(3?1)(3?1)(3?1)2(3?1)(3?1)2(3316888448422 ?3??3??52?

?1)2162

六. 先用公式，再展开 例6. 计算：?1???1??1??1??1?1?1??1???????2222???????23410?

1?? 简析：第一个整式?1?2??2??2?1?2?可表示为?1?????2?????1??3???，由简单的变化，可看出整式符合

平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。 解：原式??1???1???1???1???1???1????1?2??54??1??1??1??3??1??1?2??4??4???1??1???1??10??10?

?

32?12?43?23??34??1110910?1120

七. 乘法公式交替用

例7. 计算：(x?z)(x2?2xz?z2)(x?z)(x2?2xz?z2)

简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

解：原式??(x?z)(x2?2xz?z2)??(x2?2xz?z2)(x?z)? ??(x?z)(x?z)2??(x?z)2(x?z)?

?(x?z)(x?z)333

??(x?z)(x?z)??(x?z)642232

246?x?3xz?3xz?z

八、中考与乘法公式

1. 结论开放

例1. （02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

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分析：利用面积公式即可列出?x?y??x?y??x2?y2 或x2?y2??x?y??x?y?或?x?y??x2?2xy?y2 在上述公式中任意选一个即可。

例2. （03年陕西中考）

如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a?b），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

2

分析：利用面积公式即可列出?a?b??a?b??a2?b2或a2?b2??a?b??a?b? 2. 条件开放

例3. （03年四川中考）多项式9x2?1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出

9x?1?6x??3x?1? 或9x?1?6x??3x?1?只要再动点脑筋，还会得出

22229x?1?22814x4?92???x?1??2?22

9x?1?1??3x?229x?1?9x?1 故所加的单项式可以是?6x，或

2814x4，或?1，或?9x2等。

3. 找规律

例4. （01年武汉中考） 观察下列各式：

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?x?1??x?1??x2?1?x?1??x2?x?1??x3?1 324?x?1??x?x?x?1??x?1??由猜想到的规律可得?x?1??xn?xn?1?xn?2???x?1??____________。 分析：由已知等式观察可知 ?x?1??xn?xn?1?xn?2???x?1??xn?1?1 4. 推导新公式

例5. 在公式?a?1??a2?2a?1中，当a分别取1，2，3，??，n时，可得下列n个等式

?1?1??222?12?2?1?12?1?2?2?3?2?2?1?2?3?1??3?1??22

?n?1?2?n2?2n?1将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

1?2?3???n?__________（用含n的代数式表示）

分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：

?n?1?2?1?2?1?2?2???2?n?n 移项，整理得：

12n?n?1?

21?2?3???n?例6. （04年临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：?2a?b??a?b??2a2?3ab?b2 就可以用图4或图5等图表示。

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

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（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

?a?b??a?3b??a2?4ab?3b2

（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。

解：（1）?2a?b??2b?a??2a2?2b2?5ab （2）如图7

（3）略

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