高中数学 3.1.2复数的几何意义练习 新人教A版选修22

【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.2复数的几何意义练习

新人教A版选修2-2

一、选择题

1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i C．2＋4i [答案] C

[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( ) A．z1>z2 C．|z1|>|z2| [答案] D

[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B. 又|z1|＝5＋3，|z2|＝5＋4， ∴|z1|<|z2|. 故选D.

→

3．在复平面内，O为原点，向量OA对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对→

称点为B，则向量OB对应复数为( )

A．－2－i C．1＋2i [答案] B

[解析] 由题意知A点坐标为(－1，－2)，而点B与点A关于直线y＝－x对称，则B→

点坐标为(2,1)，所以向量OB对应复数为2＋i.故应选B.

4．在复平面内，复数z1、z2对应点分别为A、B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z2|＝41，则z2＝( )

A．4＋5i C．3＋4i [答案] D

B．5＋4i

132

D．5＋4i或＋i

55B．2＋i D．－1＋2i

2222B．8＋2i D．4＋i

B．z1

[解析] 设z2＝x＋yi(x、y∈R)，

??x－1＋

由条件得，?22

??x＋y＝41.

2

y－2

2

＝20，

??x＝5，

∴?

?y＝4.?

1

x＝，??5或?32

y＝??5.

故选D.

5．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( ) A．2cos

2C．2sin

2[答案] B

[解析] 所求复数的模为

1＋cosα2

ααB．－2cos

2D．－2sin

2

αα＋sinα＝2＋2cosα＝2

4cos

2

α2

，

∵π＜α＜2π，∴＜＜π，

22∴cos＜0，

2∴

4cos

2

πααα＝－2cos. 22

α6．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于( ) A．第一象限 C．第三象限 [答案] C

[解析] z＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z在第三象限．故应选C. 二、填空题

7．(2013·湖北文，11)i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________________.

[答案] －2＋3i

[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z2＝－2＋3i.

8．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值

B．第二象限 D．第四象限

为________________．

[答案] 5

[解析] 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，－1－－5a－－1

(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.

1－3－2－1

9．若复数z＝(m－9)＋(m＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________________. [答案] 12

?m＋2m－3≠0?

[解析] 由条件知?2

??m－9＝0

2

2

2

，

∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12. 三、解答题

10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m＋5m＋6)＋(m－2m－15)i是： (1)对应点在x轴上方；

(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．

[解析] (1)由m－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方； (2)由(m＋5m＋6)＋(m－2m－15)＋5＝0，得知：

2

2

2

2

2

m＝

－3－41－3＋41或m＝， 44

z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．

一、选择题

11．若复数(m－3m－4)＋(m－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1 C．－1和4 [答案] C

[解析] 由m－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.

[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．

12．下列命题中，假命题是( ) A．复数的模是非负实数

B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2| [答案] D

22

2

B．4 D．－1和6

[解析] ①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a＋b≥0总成立．∴A正确；

??a＝0

②由复数相等的条件z＝0??

??b＝0

22

?|z|＝0，故B正确；

③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)， 若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|. 反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，

如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；

④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错． 13．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )

A．第一象限 C．第三象限 [答案] B

[解析] 复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应的点在第二象限，故选B.

14．已知0

[解析] 由已知，得|z|＝a＋1. 由0

∴|z|＝a＋1∈(1，5)． 故选C. 二、填空题

15．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若OC＝xOA＋y OB(x、y∈R)，则x＋y的值是______________．

[答案] 5

[解析] 由复数的几何意义可知，

2

2

2

2

B．第二象限 D．第四象限

B．(1,3) D．(1，3)

→→→→→→

OC＝xOA＋yOB，

即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)， ∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i， 由复数相等可得，

??y－x＝3，?

?2x－y＝－2，?

??x＝1，

解得?

?y＝4.?

∴x＋y＝5.

16．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．

1

[答案]

2

1

[解析] 由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝.

2三、解答题

17．(2014～2015·山东鱼台一中高二期中)已知复数z＝m(m－1)＋(m＋2m－3)i(m∈R)．

(1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值；

(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围． [解析] (1)∵z为实数，∴m＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.

??mm－1＝0，

(2)∵z为纯虚数，∴?2

?m＋2m－3≠0.?

2

2

解得m＝0.

(3)∵z所对应的点在第四象限，

??mm－1>0，

∴?2

??m＋2m－3<0.

解得－3

18．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．

[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知?

?a＝x－3，?

??b＝y＋2.

?x＝a＋3，?

??y＝b－2，

∴?

①

2

2

∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a＋b＝4. 将①代入得(x－3)＋(y＋2)＝4.

∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．

2

2