两角和与差的正弦余弦和正切公式(教师版)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【最新考纲】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能利用两角和(差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； tan α±tan β(3)tan(α±β)＝．

1?tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α(3)tan 2α＝．

1－tan2α3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T(α＋β)的变形：

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C2α的变形： 1

①sinα＝(1－cos_2α)；

2

2

1

②cos2α＝(1＋cos_2α)．

2(3)公式的逆用

①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；

?π?

②sin α±cos α＝2sin?α±?.

4??

4．辅助角公式

b

ɑsin α＋bcos α＝ɑ2＋b2sin(α＋φ)(其中tan φ＝)．

a

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( ) tan α＋tan β(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β

1－tan αtan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )

(4)公式ɑsin x＋bcos x＝ɑ2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×

2．(2015·课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )

A．－

3311

B. C．－ D. 2222

解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1

2

.

答案：D

3．(经典再现)已知sin 2α＝23，则cos2

(α＋π4)＝( )

A.16 B.13 C.12

2 D.3

解析：∵sin 2α＝23，∴cos2??π??α＋4??＝

1＋cos??π?

?

2α＋2?

?1－

2

2

＝1－sin 2α2＝312＝6

. 答案：A

4．(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1

2，则tan β＝( A.17 B.16 C.57 D.5

6

解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tan α1＋tan（α＋β）·tan α 1－1

＝2311＋11＝. 2×

73答案：A

)

5．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________．

解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， tan α＋tan β可得＝3，即tan(α＋β)＝3.

1－tan αtan βπ

又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.

3π

答案：

3

一点注意

三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．

两个技巧

1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β

?α＋βα－βα－β?β??α＝－，＝?α＋2?－?＋β?.

222???2?

2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等． 三种变化

1．变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．

2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．

3．变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．