高考数学一轮必备 5.3《平面向量的数量积》考情分析学案(1)

5.3平面向量的数量积

考情分析

主要考查数量积的运算，几何定义模与夹角。垂直问题，各种题型都有。 基础知识

1．两个非零向量夹角的概念:

rrrrrr已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹

角.

rr2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量rrrrrrrrrr|a||b|cos?叫a与b的数量积，记作a?b，即有a?b= |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.

并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图

C

r

rrr定义：|b|cos? 叫做向量b在a方向上的投影.

rrrrrr4．向量的数量积的几何意义：数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘

积.

rr5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，

rrrrrrrrrrrr1? a?b? a?b = 0 2? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向rrrrrrr2rrr时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|或a?aga rrrrrragb3? cos? = rr； 4?|a?b| ≤ |a||b|

ab6.平面向量数量积的运算律

rrrrrrrrrr1)交换律：a ? b= b ? a 2)数乘结合律：(?a)?b=?(a?b) = a?(?b) rrrrrrr3)分配律：(a +b)?c = a?c + b?c

1

r7.平面内两点间的距离公式： （1）设a??x,y?，则|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2.

（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

那么|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式)

9.向量垂直的判定：设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b ?x1x2?y1y2?0

rragb10.两向量夹角的余弦（0????）： cos? =rr?ab1.两个向量垂直的充要条件：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 2. (1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？ (2)若a·b。

x1x2?y1y2x1?y122x2?y222

3.(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac?b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．

→→

(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为120°，而不是60°.

巩固提高

1．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为( )． ππ2π3πA. B. C. D. 3434解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝答案 C

2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )． A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．m(a＋b)＝ma＋mb 答案 D

3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )． A．4 B．3 C．2 D．0

解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D

2

a·b－312π

＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝. |a||b|3×223

B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c D．(a·b)·c＝a·(b·c)

4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )． A．9 B．4 C．0 D．－4 解析 a－b＝(1－x,4)． 由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0. ∴x＝9. 答案 A

5．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 解析 由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2， 得a·b＝2，cos〈a，b〉＝答案

π

3

a·b21π

＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝. |a||b|2×223

题型一 求两平面向量的数量积

→→→

【例1】已知正六边形ABCDEF的边长为1，则AB·(CB＋BA)的值为( )

3

A. 2C. 3

2

B. －3 2

3D. － 2

答案：D

→→→→→→→→→

解析：由题图知，AB与CB的夹角为120°.∴AB·(CB＋BA)＝AB·CB＋AB·BA＝cos120°32

－1＝－.

2【变式1】 如图，

3

→→

在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA·AB＝________.

1→→→→→→→→→→→→→→→→

解析 AB＝AO＋OB，故CA·AB＝CA·(AO＋OB)＝CA·AO＋CA·OB.而AO＝－CA，CA⊥OB.所

212→→

以CA·AB＝－CA＝－8.

2答案 －8

题型二 利用平面向量数量积求夹角与模

→→

【例2】 在△ABC中，AB＝(3，－1)，BC＝(1，－3)，则cosB＝( ) A. －

3

2

B.

3 2

C.

3

4

D. 0

答案：A

→→

解析：∵在△ABC中，AB＝(3，－1)，BC＝(1，－3)，

→→BA·BC－233→→→

∴|AB|＝2，|BC|＝2，BA＝(－3，1)，∴cosB＝＝＝－，选A.

→→2×22|BA|·|BC|【变式2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 解 设a与a＋b的夹角为θ，由|a|＝|b|得|a|＝|b|. 又由|b|＝|a－b|＝|a|－2a·b＋|b|. 12

∴a·b＝|a|，

2

而|a＋b|＝|a|＋2a·b＋|b|＝3|a|，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4